基本的な指数不等式の問題

■問題

$3$\displaystyle{\displaystyle{ {5}^{x}+{5}^{ - x }\geq 2 }}$

■答

すべての実数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ において成り立つ．等号成立は $3$\displaystyle{x=0}$

■ヒント

指数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ が実数の場合 $3$\displaystyle{{5}^{x}> 0}$ ， $3$\displaystyle{{5}^{ - x }> 0}$ より相加平均・相乗平均の関係を考える．

■解き方

与式の左辺は $3$\displaystyle{{5}^{x}}$ という底が $3$\displaystyle{5}$ ，指数が $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ の関数と， $3$\displaystyle{{5}^{ - x }}$ という底が $3$\displaystyle{5}$ ，指数が $3$\displaystyle{- x}$ の関数の和になっている．

指数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ が実数の場合 $3$\displaystyle{{5}^{x}> 0}$ ， $3$\displaystyle{{5}^{ - x }> 0}$ より相加平均・相乗平均の関係を考える．

$3$\displaystyle{{5}^{x}+{5}^{ - x }\geq 2\sqrt{ {5}^{x}\times {5}^{ - x } }}$

指数法則より右辺を計算すると，

$3$\displaystyle{{5}^{x}+{5}^{ - x }\geq 2}$

となる．

上式よりすべての実数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ で成り立つ．

等号成立は， $3$\displaystyle{{5}^{x}={5}^{ - x }}$ より

$3$\displaystyle{x=0}$

となる．

よって，求める不等式の範囲はすべての実数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ ，等号成立は $3$\displaystyle{x=0}$

となる．

別解として，与式の右辺を左辺に移項すると

$3$\displaystyle{{5}^{x}+{5}^{ - x }- 2\geq 0}$

指数法則を用いて，左辺を変形すると

$3$\displaystyle{{\left{{ { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{2} }\right}}^{x}- 2+{\left{{ { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{2} }\right}}^{ - x }\geq 0}$

$3$\displaystyle{{\left{{ { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{x} }\right}}^{2}- 2+{\left{{ { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{ - x } }\right}}^{2}\geq 0}$

$3$\displaystyle{{\left{{ { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{x}- { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{ - x } }\right}}^{2}\geq 0}$

となり，不等式がすべての実数 $3$\displaystyle{x}$ で成り立っていることが分かる．

等号成立は， $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{5} }\right)}^{x}- {\left({ \sqrt{5} }\right)}^{ - x }=0}$ より

$3$\displaystyle{x=0}$

となる．

よって，求める不等式の範囲はすべての実数 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ ，等号成立は $3$\displaystyle{x=0}$

としてもよい．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年10月3日