式の展開

■問題

$3$\displaystyle{ $ x+ 2y+ 1 $ $ x+ 2y- 1 $ $ x- 2y- 1 $ $ x- 2y+ 1 $ }$

■答

$3$\displaystyle{ {x}^{4}- 8{x}^{2}{y}^{2}- 2{x}^{2}+16{y}^{4}- 8{y}^{2}+1 }$

■方針

式の特徴を利用して効率よく計算する．

交換法則，分配法則，結合法則，乗法の公式を参照

$3$\displaystyle{ {A}^{2}{B}^{2}={ $ AB $ }^{2} }$

■解き方

$3$\displaystyle{ $ x+2y+1 $ $ x+2y- 1 $ $ x- 2y- 1 $ $ x- 2y+1 $ }$

point:式の特徴から $3$\displaystyle{ $ X+Y $ $ X-Y $ }$ の形にする

$3$\displaystyle{ = \{ x+ $ 2y+ 1 $ \} \{ x- $ 2y+ 1 $ \} \{ x+ $ 2y- 1 $ \} \{ x- $ 2y- 1 $ \} }$

$3$\displaystyle{ = \{ {x}^{2}- { $ 2y+1 $ }^{2} \} \{ {x}^{2}- { $ 2y- 1 $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{4}- \{ { $ 2y+ 1 $ }^{2}+ { $ 2y- 1 $ }^{2} \} {x}^{2} + { $ 2y+ 1 $ }^{2}{ $ 2y- 1 $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{4}- \{ $ 4{y}^{2}+ 4y+ 1 $ + $ 4{y}^{2}- 4y+ 1 $ \} {x}^{2} + { \{ $ 2y+ 1 $ $ 2y- 1 $ \} }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{4}- $ 8{y}^{2}+2 $ {x}^{2}+{ $ 4{y}^{2}- 1 $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{= {x}^{4}- 8{x}^{2}{y}^{2}- 2{x}^{2}+16{y}^{4}- 8{y}^{2}+1 }$

●別計算

$3$\displaystyle{\left({ x+2y+1 }\right)\left({ x+2y- 1 }\right)\left({ x- 2y- 1 }\right)\left({ x- 2y+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \left({ x+2y }\right)+1 }\right}\left{{ \left({ x+2y }\right)- 1 }\right}\left{{ \left({ x- 2y }\right)- 1 }\right}\left{{ \left({ x- 2y }\right)+1 }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left{{ { \left({ x+2y }\right) }^{2}- 1 }\right}\left{{ { \left({ x- 2y }\right) }^{2}- 1 }\right}}$

$3$\displaystyle{={\left({ x+2y }\right)}^{2}{\left({ x- 2y }\right)}^{2}- \left{{ { \left({ x+2y }\right) }^{2}+{ \left({ x- 2y }\right) }^{2} }\right}+1}$

$3$\displaystyle{={\left{{ \left({ x+2y }\right)\left({ x- 2y }\right) }\right}}^{2}- \left{{ \left({ {x}^{2}+4xy+4{y}^{2} }\right)+\left({ {x}^{2}- 4xy+4{y}^{2} }\right) }\right}- 1}$

$3$\displaystyle{={\left{{ {x}^{2}- 4{y}^{2} }\right}}^{2}- \left({ 2{x}^{2}+8{y}^{2} }\right)- 1}$

$3$\displaystyle{={x}^{4}- 8{x}^{2}{y}^{2}+16{y}^{4}- 2{x}^{2}- 8{y}^{2}- 1}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月21日