(行列の)相似

(行列の)相似

n の正方行列 A B において

B= P 1 AP

となる P が存在するとき, A B 相似(similar)であるという.

■相似の性質

相似である n の正方行列 A B の固有値は一致する.

●証明

行列 A の固有方程式を f A x ,行列 B の固有方程式を f B x とする.

f B x = xEB

= xE P 1 AP

= xEE P 1 AP

= xE P 1 P P 1 AP

( P 1 P = E )

= P 1 xEP P 1 AP

(∵行列の計算則)

= P 1 xEA P

= P 1 xEA P

(∵行列の積の行列式)

= xEA

(∵ P 1 P = P 1 P P 1 P = E =1 よって, P 1 P =1 )

= f A x

すなわち

f B x = f A x

となる.

行列 A と行列 B 固有多項式が等しくなるので,固有方程式は同じになり,行列 A と行列 B 固有値は一致する.

 

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最終更新日:2022年8月23日