$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} f $x$ & =f $0$ +{f}^{\prime } $0$ x+\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\cdots \cdots +\frac{\hspace{2} {f}^{ $n$ } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}+\cdots \cdots & \vspace{6}\\ & ={\sum }\limits_{ n=0 }^{\infty} \frac{\hspace{2} {f}^{ $n$ } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n} & \vspace{6}\\ \end{array}}$

を $3$\displaystyle{ f $x$ }$ のマクローリン展開という．これはテイラー展開において， $3$\displaystyle{a=0}$ としたものである．

■主な関数のマクローリン展開

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots \cdots +{x}^{n}+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： $3$\displaystyle{- 1< x< 1}$ ）
$3$\displaystyle{{e}^{x}=1+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}+\cdots \cdots +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： $3$\displaystyle{- \infty< x< \infty}$ ）
$3$\displaystyle{\sin x=x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{x}^{7}+\cdots \cdots +{ $ - 1 $ }^{n}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n+1 $ ! \hspace{2}}{x}^{ 2n+1 }+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： $3$\displaystyle{- \infty< x< \infty}$ ）
$3$\displaystyle{ \cos x=1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{x}^{6}+\cdots \cdots +{ $ - 1 $ }^{n}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n $ ! \hspace{2}}{x}^{ 2n }+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： $3$\displaystyle{- \infty< x< \infty}$ ）
$3$\displaystyle{\log $ 1+x $ =x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\cdots \cdots +\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } $ n- 1 $ ! \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： $3$\displaystyle{- 1< x\leq 1}$ ）
$3$\displaystyle{{\alpha}}$ を実数としたとき，
$3$\displaystyle{{ $ 1+x $ }^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{\hspace{2} {\alpha} $ {\alpha}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2} {\alpha} $ {\alpha}- 1 $ $ {\alpha}- 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\cdots \cdots }$ ⇒導出（収束半径： $3$\displaystyle{- 1< x< 1}$ ）

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初版：2004年12月7日，最終更新日： 2011年4月21日

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