内積・外積についての公式 2 の証明 (proof of formula 2 for inner product and cross product)

公式 $A \times (B \times C) = (A \cdot C) B - (A \cdot B) C$ の証明

[証明]

ベクトル $A = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$ ， $B = (B_{x}, B_{y}, B_{z})$ ， $C = (C_{x}, C_{y}, C_{z})$ に対して，

$B \times C$ $= (B_{y} C_{z} - B_{z} C_{y}, B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z}, B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x})$
$= (B_{y} C_{z} - B_{z} C_{y}) i + (B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z}) j + (B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x}) k$

なので，

$A \times (B \times C)$ $= {A_{y} (B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x}) - A_{z} (B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z})} i$

$+ {A_{z} (B_{y} C_{z} - B_{z} C_{y}) - A_{x} (B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x})} j$

$+ {A_{x} (B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z}) - A_{y} (B_{y} C_{z} - B_{z} C_{y})} k$

$= {(A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z}) B_{x} - (A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}) C_{x}} i$

$+ {(A_{x} C_{x} + A_{z} C_{z}) B_{y} - (A_{x} B_{x} + A_{z} B_{z}) C_{y}} j$

$+ {(A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y}) B_{z} - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y}) C_{z}} k$

$= {(A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z}) B_{x} - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}) C_{x}} i$

$+ {(A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z}) B_{y} - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}) C_{y}} j$

$+ {(A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z}) B_{z} - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}) C_{z}} k$

$= {(A \cdot C) B_{x} - (A \cdot B) C_{x}} i$

$+ {(A \cdot C) B_{y} - (A \cdot B) C_{y}} j$

$+ {(A \cdot C) B_{z} - (A \cdot B) C_{z}} k$

$= (A \cdot C) B - (A \cdot B) C$

となる．（証明終）

ちなみに，

$B \times (C \times A)$ $= (B \cdot A) C - (B \cdot C) A$
$C \times (A \times B)$ $= (C \cdot B) A - (C \cdot A) B$

であり，

$A \times (B \times C) + B \times (C \times A) + C \times (A \times B) = 0$

が成り立つので，ヤコビ恒等式を満たす．

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最終更新日2023年2月20日