減衰振動 : 運動方程式 (equation of motion)
x
軸上を単振動する質量
m
の質点には,その位置
x
に比例した復元力
F=−cx
(
c
:正定数)が作用し,この質点の運動方程式は
m
d2x
dt2
=−cx
- - - (1)
と表される.この質点に速度
v=
dx
/
dt
に比例する抵抗力(粘性抵抗)が作用する場合を考える.その比例定数を
b
(>0)
とすると,この質点の運動方程式は
m
d2x
dt2
=−cx
−bv
=−cx
−b
dx
dt
- - - (2)
となる(抵抗力は運動方向(速度方向)とは逆向きであるので,マイナス符号が付いている).
式(2)において,
ω0
=
c/m
,
γ=b/
2m
を導入して整理すると,定数係数の2階同次線形微分方程式
d2x
dt2
+2γ
dx
dt
+
ω02x
=0
- - - (3)
が得られる.
ω0
は抵抗がないときの単振動の角振動数であり,
γ
は減衰率という.
この微分方程式を解くと,一般解は
ω0
と
γ
の関係に応じて以下の3つの場合に分けられる:
(i)
抵抗が比較的小さくて
γ<
ω0
の場合(不足減衰 : under damping)
x=A
e−γt
cos(ωt+α)
,
ω=
ω02
−
γ2
- - - (4)
A
と
α
は任意定数である.
(ii)
抵抗が比較的大きくて
γ>
ω0
の場合(過減衰 : over damping)
x=
e−γt
(
c1
eηt
+
c2
e−ηt
)
,
η=
γ2
−
ω02
- - - (5)
c1
と
c2
は任意定数である.
(iii)
γ=
ω0
の場合(臨界減衰 : critical damping)
x=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
- - - (6)
c1
と
c2
は任意定数である.
ω0
=0.30
s-1
として,同じ初期条件
x0=
1.0 m
,
v0=
0 m/s
の下で,
γ
を不足減衰(
γ=0.084 ,
0.18
s−1
)の状況から臨界減衰(
γ=0.30
s−1
),過減衰(
γ=0.50 ,
0.78
s−1
)の状況に変えたときのグラフを下図に示す.
それぞれのグラフの式は以下のとおりである.
γ=0.084
s−1
(不足減衰) ⇒
x=
25
24
e−0.084t
cos(
0.288t+
tan−1
(
−7/24
)
)
γ=0.18
s−1
(不足減衰) ⇒
x=
5
4
e−0.18t
cos(
0.24t+
tan−1
(
−3/4
)
)
γ=0.30
s−1
(臨界減衰) ⇒
x=
(1.0+0.3t)
e−0.30t
γ=0.50
s−1
(過減衰) ⇒
x=
98
e−0.10t
−
18
e−0.90t
γ=0.78
s−1
(過減衰) ⇒
x=
2524
e−0.060t
−
124
e−1.5t
不足減衰の状態(
γ<
ω0
)から抵抗を強く(
γ
を大きく)していくと,
e−γt
により振動の減衰が大きくなり,ついには振動しない臨界減衰(
γ=
ω0
)に至る.さらに抵抗を強くしていくと,抵抗が強くなりすぎて動きが鈍くなり,
e
−(γ−η)t
のためになかなか釣り合いの位置(
x=0
)に近づかない過減衰(
γ>
ω0
)に至る.臨界減衰のときが最も減衰が速い.
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