問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\left(tanx\right)}^{\prime }=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$

の式を用いる．

■解き方

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

${\displaystyle u=\frac{1}{2x}}$とおく

${\displaystyle {\displaystyle y=tanu}}$

（合成関数の導関数を参照）

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{du}}={\left(\tan u\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle ={\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{{\left(sinu\right)}^{\prime }cosu-sinu{\left(cosu\right)}^{\prime }}{{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle =\frac{{sin}^{2}u+{cos}^{2}u}{{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle \frac{\mathit{du}}{dx}={\left(\frac{1}{2x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2x^2}}$

よって

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{dy}{\mathit{du}}·\frac{\mathit{du}}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}·\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^2\frac{1}{2x}}}$

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最終更新日： 2023年10月9日

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