フーリエ級数の問題

フーリエ級数の問題

■問題

周期関数

f x = 2 2x<0 2x 0x<2 f( x+4 )=f( x )

フーリエ級数を求めよ.

■解答

f( x ) 3 2 + 4 π 2 ( cos π 2 x+ 1 3 2 cos 3π 2 x+ 1 5 2 cos 5π 2 x + ) + 2 π ( sin π 2 x+ 1 2 sin 2π 2 x 1 3 sin 3π 2 x + )

■ヒント

フーリエ係数

a 0 = 1 f( x ) xdx    

a n = 1 f( x ) cos nπ xdx     ( n=1,2,3 )

b n = 1 f( x ) sin nπ xdx      ( n=1,2,3 )

を求める

■解き方

a 0 = 1 2l l l f( x )dx

= 1 2·2 { 2 0 2dx+ 0 2 ( 2x ) dx }

= 1 4 { 2 [ x ] 2 0 + [ 2x 1 2 x 2 ] 0 2 }

= 1 4 { 4+4 1 2 ·4 }

= 6 4

= 3 2

 

a n = 1 l l l f( x )cos nπ 2 xdx

= 1 2 { 2 0 2cos nπ 2 xdx+ 0 2 ( 2x ) cos nt 2 xdx }

= 1 2 { 2 [ 2 nπ sin nπ 2 x ] 2 0 + [ ( 2x ) 2 nπ sin nπ 2 x ] 0 2 0 2 ( 1 ) 2 nπ sin nπ 2 x }

= 1 2 { 4 nπ ( 00 )+( 00 )+ 2 nπ [ 2 nπ cos nπ 2 x ] 0 2 }

= 1 2 ( 4 n 2 π 2 )( cosnπ1 )

= 2 n 2 π 2 { ( 1 ) n 1 }

= 0 nが偶数のとき 4 n 2 π 2 nが奇数のとき

 

b n = 1 2 l l f( x )sin nπ 2 xdx

= 1 2 { 2 0 2sin nπ 2 xdx+ 0 2 ( 2x )sin nπ 2 xdx }

= 1 2 { 2 [ 2 nπ cos nπ 2 x ] 2 0 + [ ( 2x )( 2 nπ cos nπ 2 ) ] 0 2 0 2 ( 1 )( 2 nπ cos nπ 2 )dx }

= 1 2 { 2( 2 nπ )( 1cos( nπ ) )2( 2 nπ ) 2 nπ [ 2 nπ sin nπ 2 ] 0 2 }

= 1 2 { 4 nπ ( 1 ( 1 ) n )+ 4 nπ 0 }

= 1 2 · 4 nπ · ( 1 ) n

= 2 nπ · ( 1 ) n


f( x ) a 0 + n=1 ( a n cos nπ 2 + b n sin nπ 2 x )

3 2 + n=1 ( 2 n 2 π 2 { ( 1 ) n 1 }cos nπ 2 x+ 2 nπ ( 1 ) n sin nπ 2 x )

3 2 + 4 π 2 ( cos π 2 x+ 1 3 2 cos 3π 2 x+ 1 5 2 cos 5π 2 x + ) + 2 π ( sin π 2 x+ 1 2 sin 2π 2 x 1 3 sin 3π 2 x + )

 

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最終更新日: 2023年7月6日