基本的な行列の問題

■問題

２次正方行列${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ に対して，${\displaystyle T\left(A\right)=a+d}$ ，${\displaystyle \Delta \left(A\right)=ad-bc}$ とおく．

・ ${\displaystyle T\left(A^2\right)}$ を${\displaystyle T\left(A\right)}$ と${\displaystyle \Delta \left(A\right)}$ を用いて表わせ．

・${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ かつ${\displaystyle A^4=E}$ を満たすとする．

(1)${\displaystyle T\left(A\right)}$ の値をすべて求めよ．

(2)${\displaystyle T\left(A\right)\ne 0}$ となる${\displaystyle A}$ をすべて求めよ．

■答

${\displaystyle T\left(A^2\right)={\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)}$

(1) ${\displaystyle T\left(A\right)=0,\pm 2}$

(2) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}$

■計算

・ ${\displaystyle T\left(A^2\right)}$ を${\displaystyle T\left(A\right)}$ と${\displaystyle \Delta \left(A\right)}$ を用いて表わせ．

${\displaystyle A^2}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)}$

よって

${\displaystyle T\left(A^2\right)}$${\displaystyle =a^2+d^2+2bc}$

${\displaystyle ={\left(a+d\right)}^2+2\left(bc-ad\right)}$

${\displaystyle {=\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)}$

・${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ かつ${\displaystyle A^4=E}$を満たすとする．

(1)${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ ，${\displaystyle A^4=E}$ から

${\displaystyle T\left(A^4\right)=T\left(E\right)=2}$　･･････(i)

ここで，${\displaystyle T\left(A\right)=t}$ とおくと

${\displaystyle T\left(A^4\right)}$${\displaystyle =T\left({\left(A^2\right)}^2\right)}$

${\displaystyle ={\left\{T\left(A^2\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A^2\right)}$

${\displaystyle ={\left[{\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)\right]}^2-2{\left\{\Delta \left(A\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ ，${\displaystyle T\left(A\right)=t}$を代入する．

${\displaystyle ={\left(t^2-2\right)}^2-2}$　･･････(ii)

(i)，(ii)より

${\displaystyle {\left(t^2-2\right)}^2-2=2}$

よって

${\displaystyle t^2-2=\pm 2}$

ゆえに

${\displaystyle t=0,\pm 2}$

すなわち

${\displaystyle T\left(A\right)=0,\pm 2}$

(2)${\displaystyle t=2}$ のときケーリー・ハミルトンの定理により

${\displaystyle A^2-2A+E=0}$

よって

${\displaystyle A^2=2A-E}$　･･････(iii)

これを${\displaystyle A^4=E}$ に代入すると

${\displaystyle {\left(2A-E\right)}^2=E}$

よって

${\displaystyle 4A^2-4A+E=E}$

ゆえに

${\displaystyle A^2=A}$

(iii)に代入して${\displaystyle A=E}$

${\displaystyle t=-2}$ のとき

${\displaystyle A^2-2A+E=0}$

よって

${\displaystyle A^2=-2A-E}$　･･････(iv)

これを${\displaystyle A^4=E}$ に代入して

${\displaystyle 4A^2+4A+E=E}$

ゆえに

${\displaystyle A^2=-A}$

(iv)に代入して${\displaystyle A=-E}$

以上より

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日