基本的な行列の問題
■問題
2次正方行列
A
=
a
b
c
d
に対して,
T
A
=
a
+
d
,
Δ
A
=
a d
−
bc
とおく.
・
T
A
2
を
T
A
と
Δ
A
を用いて表わせ.
・
A
が
Δ
A
=
1
かつ
A
4
=
E
を満たすとする.
(1)
T
A
の値をすべて求めよ.
(2)
T
A
≠
0
となる
A
をすべて求めよ.
■答
T
A
2
=
T
A
2
−2Δ
A
(1)
T
A
=
0
,
±
2
(2)
A
=
1
0
0
1
,
−
1
0
0
−
1
■計算
・
T
A
2
を
T
A
と
Δ
A
を用いて表わせ.
A
2
=
a
b
c
d
a
b
c
d
=
a
2
+
bc
ab
+
bd
ac
+
cd
b c
+
d
2
よって
T
A
2
=
a
2
+
d
2
+
2
bc
=
a
+
d
2
+
2
bc
−
ad
=
T
A
2
−
2
Δ
A
・
A
が
Δ
A
=
1
かつ
A
4
=
E
を満たすとする.
(1)
Δ
A
=
1
,
A
4
=
E
から
T
A
4
=
T
E
=
2
・・・・・・(i)
ここで,
T
A
=
t
とおくと
T
A
4
=
T
A
2
2
=
T
A
2
2
−
2
Δ
A
2
=
T
A
2
−
2
Δ
A
2
−
2
Δ
A
2
Δ
A
=1
,
T
A
=t
を代入する.
=
t
2
−
2
2
−
2
・・・・・・(ii)
(i),(ii)より
t
2
−
2
2
−
2
=
2
よって
t
2
−
2
=
±
2
ゆえに
t
=
0
,
±
2
すなわち
T
A
=
0
,
±
2
(2)
t
=
2
のときケーリー・ハミルトンの定理により
A
2
−
2
A
+
E
=
0
よって
A
2
=
2
A
−
E
・・・・・・(iii)
これを
A
4
=
E
に代入すると
2
A
−
E
2
=
E
よって
4
A
2
−
4
A
+
E
=
E
ゆえに
A
2
=
A
(iii)に代入して
A
=
E
t
=
−
2
のとき
A
2
−
2
A
+
E
=
0
よって
A
2
=
−
2
A
−
E
・・・・・・(iv)
これを
A
4
=
E
に代入して
4
A
2
+
4
A
+
E
=
E
ゆえに
A
2
=
−
A
(iv)に代入して
A
=
−
E
以上より
A
=
1
0
0
1
,
−
1
0
0
−
1
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作成:学生スタッフ
最終更新日:
2022年9月6日
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