偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ.

z=log x 2 + y 2 ならば ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = 1 e 2z である.

■ヒント

( z x ) 2 + ( z y ) 2 = 1 e 2z の右辺と左辺をそれぞれ式変形し同じ形になることを示す.

左辺は, z x, y でそれぞれ偏微分し,2式を連立させる. このとき,合成関数の微分を用いる.

右辺は, z=log x 2 + y 2 を代入し,対数の性質累乗根の性質 を利用して変換した後,指数関数の底の変換を行う.

■解説

[1] 左辺 に関して

u= x 2 + y 2 とおくと 

z=log ( x 2 + y 2 ) 1 2 = 1 2 log( x 2 + y 2 ) = 1 2 logu

d z d u = 1 2 u = 1 2 ( x 2 + y 2 )   (対数の微分を参照)

まず, u x で偏微分すると

u x = 2 x

合成関数の微分より

z x = dz du · u x = 1 2( x 2 + y 2 ) ·2x = x x 2 + y 2

次に, u y で偏微分すると,

u y = 2 y

合成関数の微分より

  z x = dz du · u y = 1 2( x 2 + y 2 ) ·2y = y x 2 + y 2

よって,左辺は

( z x ) 2 + ( z y ) 2

= ( x x 2 + y 2 ) 2 + ( y x 2 + y 2 ) 2

= x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= 1 x 2 + y 2  ・・・・・・(1)

[2]右辺に関して

z = log x 2 + y 2 より

e 2 z = e 2 log x 2 + y 2

対数の性質より

= e log ( x 2 + y 2 ) 2

= e log ( x 2 + y 2 )

指数と対数の関係より

= x 2 + y 2

よって,右辺は

1 e 2 z = 1 x 2 + y 2   ・・・・・・(2)

(1),(2) より,

( z x ) 2 + ( z y ) 2 = 1 e 2z


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最終更新日: 2023年8月25日