陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) について d 2 y d x 2 を求めよ.

3 x 2 +2xy+ y 2 =1

■答

2 ( x+y ) 3

■ヒント

まず, 3 x 2 +2xy+ y 2 =1 より定義した f x,y =f x,ϕ x =0 となる2変数関数 f x,y x で微分する.その結果から dy dx を求める.

■解説

別解

与式を変形すると

3 x 2 +2xy+ y 2 1=0

となる.

f( x,y )=f( x,ϕ( x ) ) =3 x 2 +2xy+ y 2 1

とおく. f( x,y ) x=x y=ϕ x とする合成関数と考えて,これを x で微分すると

d dx f( x,y ) = f x dx dx + f y dy dx

合成関数の偏導関数の公式を用た.

= f x + f y dy dx =0

よって

f y dy dx = f x

d y d x = f x f y  ・・・・・・(1)

ここで

f x = x f( x,y )

= x ( 3 x 2 +2xy+ y 2 1 )

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

=6x+2y

=2( 3x+y )  ・・・・・・(2)

f y = y f( x,y )

= y ( 3 x 2 +2xy+ y 2 1 )

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

=2x+2y

=2( x+y )  ・・・・・・(3)

(1)に(2),(3)を代入すると

dy dx = 2( 3x+y ) 2( x+y ) = 3x+y x+y  ・・・・・・(4)

となる.

g( x,y )=g( x,ϕ( x ) )= 3x+y x+y  ・・・・・・(5)

とおく.

d 2 y d x 2 = d dx ( dy dx )

= d dx { g( x,y ) }

g( x,y ) x=x y=ϕ x とする合成関数と考えて,これを x で微分する.このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる.

= g x + g y dy dx  ・・・・・・(6)

ここで

g x = x g( x,y )

(5)を代入する.

= x ( 3x+y x+y )

= x ( 3x+y x+y )

分数関数(商)の導関数の公式を用いる.

= x ( 3x+y )·( x+y )( 3x+y )· x ( x+y ) ( x+y ) 2

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

= 3·( x+y )( 3x+y )·1 ( x+y ) 2

= 3x+3y3xy ( x+y ) 2

= 2y ( x+y ) 2  ・・・・・・(7)

g y = y g( x,y )

(5)を代入する.

= y ( 3x+y x+y )

= y ( 3x+y x+y )

分数関数(商)の導関数の公式を用いる.

= y ( 3x+y )·( x+y )( 3x+y )· y ( x+y ) ( x+y ) 2

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

= 1·( x+y )( 3x+y )·1 ( x+y ) 2

= x + y 3 x y ( x + y ) 2

= 2 x ( x + y ) 2

= 2 x ( x + y ) 2  ・・・・・・(8)

(6)に(7),(8),(4)を代入する.

d 2 y d x 2 = 2y ( x+y ) 2 + 2x ( x+y ) 2 ·( 3x+y x+y )

= 2y ( x+y ) 2 2x( 3x+y ) ( x+y ) 3

={ 2y ( x+y ) 2 + 2x( 3x+y ) ( x+y ) 3 }

= 2y( x+y )+2x( 3x+y ) ( x+y ) 3

= 2xy+2 y 2 +6 x 2 +2xy ( x+y ) 3

= 6 x 2 +4xy+2 y 2 ( x+y ) 3

= 2( 3 x 2 +2xy+ y 2 ) ( x+y ) 3

3 x 2 +2xy+ y 2 =1 の関係から

d 2 y d x 2 = 2 ( x+y ) 3

■別解

3 x 2 +2xy+ y 2 =1 の両辺を x で微分する.

6x+2y+2x dy dx +2y dy dx =0  ・・・・・・(9)

( d dx y 2 についてはここを参照)

(9)を dy dx について解く.

6x+2y+ 2x+2y dy dx =0

2x+2y dy dx =6x2y

dy dx = 6x+2y 2x+2y = 3x+y x+y  ・・・・・・(10)

(9)を x さらに x で微分する.

6+2 dy dx +2 dy dx +2x d 2 y d x 2 +2 dy dx dy dx +2y d 2 y d x 2 =0  ・・・・・・(11)

(11)を d 2 y d x 2 について解く.

3+ dy dx + dy dx +x d 2 y d x 2 + dy dx 2 +y d 2 y d x 2 =0

x+y d 2 y d x 2 =32 dy dx dy dx 2  ・・・・・・(12)

(12)に(10)を代入する.

x+y d 2 y d x 2 =32 3x+y x+y 3x+y x+y 2

x+y d 2 y d x 2 = 3 x+y 2 +2 3x+y x+y 3x+y 2 x+y 2

x+y d 2 y d x 2 = 3 x 2 +2xy+ y 2 +2 3 x 2 +4xy+ y 2 9 x 2 +6xy+ y 2 x+y 2

x+y d 2 y d x 2 = 6 x 2 4xy2 y 2 x+y 2

x+y d 2 y d x 2 = 2 3 x 2 2xy y 2 x+y 2

x+y d 2 y d x 2 = 2 x+y 2

3 x 2 +2xy+ y 2 =1 の関係から

d 2 y d x 2 = 2 x+y 3

 

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最終更新日: 2023年9月15日