陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) について d 2 y d x 2 を求めよ.

log x 2 + y 2 tan 1 y x =0

■答

2( x 2 + y 2 ) ( xy ) 3

■ヒント

まず, log x 2 + y 2 tan 1 y x =0 より定義した f x,y =f x,ϕ x =0 となる2変数関数 f x,y x で微分する.その結果から dy dx を求める.

■解説

別解

f( x,y )=f( x,ϕ( x ) ) =log x 2 + y 2 tan 1 y x

とおく. f( x,y ) x=x y=ϕ x とする合成関数と考えて,これを x で微分すると

d dx f( x,y ) = f x dx dx + f y dy dx

合成関数の偏導関数の公式を用いた.

= f x + f y dy dx

=0

よって

f y dy dx = f x

dy dx = f x f y  ・・・・・・(1)

ここで

f x = x f( x,y )

= x ( log x 2 + y 2 tan 1 y x )

= x { log ( x 2 + y 2 ) 1 2 tan 1 y x 1 }

= x { 1 2 log( x 2 + y 2 ) tan 1 y x 1 }

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

= 1 2 · 1 x 2 + y 2 ·2x 1 1+ ( y x ) 2 ·( y x 2 )

= x x 2 + y 2 1 1+ ( y x ) 2 ·( y x 2 )

= x x 2 + y 2 + y x 2 1+ ( y x ) 2

= x x 2 + y 2 + y x 2 1+ y 2 x 2

= x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2

= x+y x 2 + y 2  ・・・・・・(2)

f y = y f( x,y )

= x ( log x 2 + y 2 tan 1 y x )

= x { log ( x 2 + y 2 ) 1 2 tan 1 1 x y }

= x { 1 2 log( x 2 + y 2 ) tan 1 1 x y }

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

= 1 2 · 1 x 2 + y 2 ·2y 1 1+ ( y x ) 2 · 1 x

= y x 2 + y 2 1 x 1+ y 2 x 2

= y x 2 + y 2 x x 2 + y 2

= yx x 2 + y 2

= xy x 2 + y 2  ・・・・・・(3)

(1)に(2),(3)を代入すると

dy dx = f x f y = x+y x 2 + y 2 ( xy x 2 + y 2 ) = x+y x 2 + y 2 xy x 2 + y 2 = x+y xy  ・・・・・・(4)

となる.

g( x,y )=g( x,ϕ( x ) )= x+y xy  ・・・・・・(5)

とおく.

d 2 y d x 2 = d dx ( dy dx )

= d dx { g( x,y ) }

合成関数の偏導関数の公式を用いる.

= g x + g y dy dx  ・・・・・・(6)

ここで

g x = x g( x,y )

= x ( x+y xy )

= x ( x+y )·( xy )( x+y )· x ( xy ) ( xy ) 2

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.
分数関数の微分の公式を用いる.

= 1·( xy )( x+y )·1 ( xy ) 2

= xyxy ( xy ) 2

= 2y ( xy ) 2  ・・・・・・(7)

g y = y g( x,y )

= y ( x+y xy )

= y ( x+y )·( xy )( x+y )· y ( xy ) ( xy ) 2

= 1·( xy )( x+y )·( 1 ) ( xy ) 2

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.
分数関数の微分の公式を用いる.

= xy+x+y ( xy ) 2

= 2x ( xy ) 2  ・・・・・・(8)

(6)に(7),(8),(4)を代入する.

d 2 y d x 2 = g x + g y dy dx

= 2y ( xy ) 2 + 2x ( xy ) 2 ·( x+y xy )

= 2y ( xy ) 2 + 2x( x+y ) ( xy ) 3

= 2y( xy )+2x( x+y ) ( xy ) 3

= 2xy+2 y 2 +2 x 2 +2xy ( xy ) 3

= 2 x 2 +2 y 2 ( xy ) 3

= 2( x 2 + y 2 ) ( xy ) 3

■別解

log x 2 + y 2 tan 1 y x =0  ・・・・・・(9)

(9)の両辺を x で微分する.

1 x 2 + y 2 d dx x 2 + y 2 1 1+ y x 2 d dx y x =0

1 x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 2x+2y dy dx x 2 x 2 + y 2 y x 2 + 1 x dy dx =0  ・・・・・・(10)

(10)を dy dx について解く.

x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 dy dx + y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 dy dx =0

x+y x 2 + y 2 xy x 2 + y 2 dy dx =0

(9)より x 2 + y 2 0 である.よって,両辺を x 2 + y 2 で割る.

x+y xy dy dx =0  ・・・・・・(11)

dy dx = x+y xy  ・・・・・・(12)

(11)を x さらに x で微分する.

1+ dy dx 1 dy dx dy dx xy d 2 y d x 2 =0  ・・・・・・(13)

(13)を d 2 y d x 2 について解く.

1+ dy dx 2 xy d 2 y d x 2 =0

d 2 y d x 2 = 1 xy 1+ dy dx 2  ・・・・・・(14)

(14)に(12)を代入する.

d 2 y d x 2 = 1 xy 1+ x+y xy 2

d 2 y d x 2 = 1 xy xy 2 + x+y 2 xy 2

d 2 y d x 2 = 2 x 2 + y 2 xy 3

 

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最終更新日: 2023年9月15日