ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y y 2y=4 t 2

(初期条件: y 0 =1 y 0 =1 )

■答

y=2 t 2 +2t3+ 1 3 e 2t + 11 3 e t

■ヒント

ラプラス変換 微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L s Y s y 0

y L s 2 Y s s y 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s s y 0 y 0 ( s Y s y 0 ) 2 Y s = 8 s 3

初期条件より

s 2 Y s s+1( s Y s 1 ) 2 Y s = 8 s 3

( s 2 s2 ) Y s = 8 s 3 +s2

Y s = 8 s 3 +s2 s 2 s2

Y s = 8 s 3 +s2 ( s2 )( s+1 )

Y s = 8 s 3 ( s2 )( s+1 ) + s2 ( s2 )( s+1 )

Y s = 8 s 3 ( s2 )( s+1 ) + 1 s+1

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 s + k 2 s 2 + k 3 s 3 + k 4 s2 + k 5 s+1 + 1 s+1

= k 1 s 2 ( s2 )( s+1 )+ k 2 s( s2 )( s+1 )+ k 3 ( s2 )( s+1 )+ k 4 s 3 ( s+1 )+ k 5 s 3 ( s2 ) s 3 ( s2 )( s+1 ) + 1 s+1

= ( k 1 + k 4 + k 5 ) s 4 +( k 1 + k 2 + k 4 2 k 5 ) s 3 +( 2 k 1 k 2 + k 3 ) s 2 +( 2 k 2 k 3 )s2 k 3 s 3 ( s2 )( s+1 ) + 1 s+1

部分分数分解前と後の分子を係数比較すると

{ k 1 + k 4 + k 5 =0 k 1 + k 2 + k 4 2 k 5 =0 2 k 1 k 2 + k 3 =0 2 k 2 k 3 =0 2 k 3 =8

k 1 =3 k 2 =2 k 3 =4 k 4 = 1 3 k 5 = 8 3

よって

Y s = 3 s + 2 s 2 4 s 3 + 1 3 1 s2 + 8 3 1 s+1 + 1 s+1

逆ラプラス変換をするラプラス変換表はこちら

y=2 t 2 +2t3+ 1 3 e 2t + 11 3 e t

■別解

微分方程式で解く

特性方程式

λ 2 λ2=0

より

( λ2 )( λ+1 )=0

λ=2,1

よって一般解

y= C 1 e 2t + C 2 e t (同次微分方程式の解法を参照)

次に,未定計数法により特殊解を求める.

K 2 t 2 + K 1 t+ K 0 K 2 t 2 + K 1 t+ K 0 2( K 2 t 2 + K 1 t+ K 0 ) =4 t 2

2 K 2 t 2 t( 2 K 2 +2 K 1 )+2 K 2 K 1 2 K 0 =4 t 2

{ 2 K 2 =4 2 K 2 +2 K 1 =0 2 K 2 - K 1 2 K 0 =0

K 2 =2, K 1 =2, K 0 =3

よって

y p =2 t 2 +2t3

以上より

y=2 t 2 +2t3+ C 1 e 2t + C 2 e t (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y =4t+2+2 C 1 e 2t C 2 e t

初期条件より

y 0 =3+ C 1 + C 2 ……(1)

y 0 =2+2 C 1 C 2 ……(2)

(1),(2)より

C 1 = 1 3 , C 2 = 11 3

よって

y=2 t 2 +2t3+ 1 3 e 2t + 11 3 e t

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>ラプラス変換>>問題演習>>ラプラス変換に関する問題

最終更新日: 2023年6月6日