ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y 10 y +25y=0

(初期条件: y 0 = 1 2 y 0 =3 )

■答

y= 1 2 e 5t ( t+1 )

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 10( sY s y 0 ) +25Y s =0

初期条件より

s 2 Y s 1 2 s310sY s +5+25Y s =0

( s 2 10s+25 )Y s 1 2 s+2=0

Y s = 1 2 s2 ( s5 ) 2      ……(1)

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 s5 + k 2 ( s5 ) 2

Y s = k 1 ( s5 )+ k 2 ( s5 ) 2   ……(2)

(1)と(2)の分子を係数比較すると

{ k 1 = 1 2 5 k 1 + k 2 =2

k 1 = 1 2 , k 2 = 1 2

よって

Y s = 1 2 1 s5 + 1 2 1 ( s5 ) 2

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y= 1 2 e 5t ( t+1 )

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 10λ+25=0

より

( λ5 ) 2 =0

λ=5

よって一般解は

y= e 5t ( C 1 t+ C 2 )  (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y =5 e 5t ( C 1 t+ C 2 )+ C 1 e 5t

初期条件より

y 0 = C 2  ・・・・・・(1)

y 0 =5 C 2 + C 1  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 = 1 2 , C 2 = 1 2

よって

y= 1 2 e 5t ( t+1 )

 

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最終更新日: 2023年6月6日