ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y 2 y +y=0

(初期条件: y 0 =2 y 0 =3 )

■答

y=t e t +2 e t

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く.

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 2( sY s y 0 ) +Y s =0

初期条件より

s 2 Y s 2s+32( sY s 2 )+Y s =0

( s 2 2s+1 )Y s 2s+ 1=0

Y s = 2s 1 ( s1 ) 2

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 ( s1 ) 2 + k 2 s1

k 1 ( s1 ) 2 + k 2 s1 = 2s1 ( s1 ) 2

k 2 s+ k 1 k 2 ( s1 ) 2 = 2s1 ( s1 ) 2

分子を係数比較すると

k 1 =1 k 2 =2

よって

Y s = 1 ( s1 ) 2 + 2 s1

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y=t e t +2 e t

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 2λ+1=0

より

( λ1 ) 2 =0

λ=1

よって一般解(ここを参照)は

y=( C 1 C 2 t ) e t   (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y =( C 1 C 2 t ) e t C 2 e t

初期条件より

y 0 = C 1 =2  ・・・・・・(1)

y 0 = C 1 C 2 =3  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 =2, C 2 =1

よって

y=t e t +2 e t

 

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最終更新日: 2023年6月6日