問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題12

■問題

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$で

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sin x\sin y=\cos z\\ \sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin z+1\end{array}}$

を満たしているとき，${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle z}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left({90}^{°},{30}^{°},{60}^{°}\right),\left({30}^{°},{90}^{°},{60}^{°}\right)}$

■解説

${\displaystyle \sin x\sin y=\cos z}$ 　･･････(1)

${\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin z+1}$ 　･･････(2)

とする

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ で

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ 　･･････(3)

から，${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$ の範囲は，${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$，${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$，${\displaystyle 0^{°}<z<{180}^{°}}$ となり，(3)から

${\displaystyle z=180-\left(x+y\right)}$ 　･･････(3)’

(3)’より

${\displaystyle cosz}$${\displaystyle =cos\left({180}^{°}-x-y\right)}$

${\displaystyle =-cos\left(x+y\right)}$

${\displaystyle =-\left(cosxcosy-sinxsiny\right)}$

${\displaystyle =-cosxcosy+sinxsiny}$

(1)の式より

${\displaystyle -cosxcosy=0}$

${\displaystyle cosxcosy=0}$ ･･････(4)

(2)より

${\displaystyle sinx+siny=\frac{1}{\sqrt{3}}sin\left(x+y\right)+1}$ ･･････(5)

(4)より

${\displaystyle cosx=0}$　または　${\displaystyle cosy=0}$

である．

${\displaystyle cosx=0}$のとき

${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$より

${\displaystyle x={90}^{°}}$　･･････(6)

(6)を(5)に代入すると

${\displaystyle 1+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left(90+y\right)+1}$

${\displaystyle \sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos y}$

${\displaystyle \tan y=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$から

${\displaystyle y={30}^{°}}$

(3)より

${\displaystyle z={60}^{°}}$

${\displaystyle \cos y=0}$のとき

${\displaystyle x}$ と${\displaystyle y}$を入れ替えても問題は同等であるので，${\displaystyle \cos x=0}$ のときの${\displaystyle x}$ と${\displaystyle y}$ を入れ替えるとよい．

${\displaystyle x={30}^{°},y={90}^{°},z={60}^{°}}$

となる

よって(1)，(2)を満たしている値は

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left({90}^{°},{30}^{°},{60}^{°}\right),\left({30}^{°},{90}^{°},{60}^{°}\right)}$

となる

　

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最終更新日： 2023年3月16日

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