加法定理の問題14

加法定理の問題

■問題

sin18° の値を求めよ.

■答

sin18°= 1+ 5 4

■ヒント

5θ=90° を作り, 2倍角の公式3倍角の公式 を利用して解く.

また,図形を用いて解く方法もある.別解

■解き方

θ = 18 ° とおくと,

5θ=90°

となる. 2倍角の公式3倍角の公式 を利用するために

3θ=90°2θ

と式を変形する.よって

cos3θ=cos( 90°2θ )  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

cos(90°2θ)=sin2θ  ・・・・・・(2)

( cos( 90°θ )=sinθ  ⇒ 参照 )

より(1)は

cos3θ=sin2θ ・・・・・・(3)

となる.

cos3θ= 4cos3θ 3cosθ  ・・・・・・(4)

( ∵  3倍角の公式を利用)

sin2θ=2sinθcosθ ・・・・・・(5)

( 2倍角の公式を利用)

(4),(5)を(3)に代入すると

4 cos 3 θ3cosθ=2sinθcosθ  ・・・・・・(6)

となる. cosθ0 なので,両辺を cosθ で割ると

4 cos 2 θ3=2sinθ

4( 1 sin 2 θ )3=2sin θ  

(∵ sin 2 θ+ cos 2 θ=1 を利用)

となる. sinθ= X とおいて式を整理すると

4( 1 X 2 )3=2X

4 X 2 +12X=0  

4 X 2 +2X1=0  

となる.解の公式より

X= 1± 1 2 +41 4 = 1±5 4

X=sinθ=sin 18 ° > 0 より

X= 1+ 5 4

以上より

sin18°= 1+ 5 4

 

 

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最終更新日: 2023年3月16日