不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

6x5 3 x 2 5x+2 dx   

■答

log| 3x2 |+log| x1 |+C    C は積分定数)

(あるいは, log | 3 x 2 5x+2 |+C

■ヒント

分母を微分すると分子になる→置換積分法を考える

基本となる関数の積分 より

1 x d x = log | x | + C    C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

3 x 2 5x+2=t とおくと

dt dx =6x5 dt=( 6x5 )dx  ・・・・・・(1)

となる.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

与式 = 1 t dt  

(与式に(1)を代入すした)

=log| t |+C   

(方針の公式にあてはめた)

=log | 3 x 2 5x+2 |+C   

(最初に, 3 x 2 5x+2=t と置換したので,元に戻した)

=log| ( 3x2 )( x1 ) |+C   

真数因数分解をした)

=log| 3x2 |+log| x1 |+C   

対数の計算の基本式を使って式を変形した)

 

●別解

6 x 5 3 x 2 5 x + 2 部分分数に分解してから積分する.

6 x 5 3 x 2 5 x + 2 = 6 x 5 ( 3 x 2 ) ( x 1 ) = a 3 x 2 + b x 1   

とおく.

a 3 x 2 + b x 1 = a ( x 1 ) + b ( 3 x 2 ) ( 3 x 2 ) ( x 1 ) = ( a + 3 b ) x a 2 b ( 3 x 2 ) ( x 1 )   

よって

6 x 5 ( 3 x 2 ) ( x 1 ) = ( a + 3 b ) x a 2 b ( 3 x 2 ) ( x 1 )   

が常に成り立つためには, a b が連立方程式

{ a+3b=6 -a2b=-5   

を満たす必要がある.連立方程式を解くと

a=3 b=1

が得られる.よって

6x5 3 x 2 5x+2 = 3 3x2 + 1 x1

と部分分数に分解することができる.よって

与式 = 3 3x2 + 1 x1 dx

=log| 3x2 |+log| x1 |+C   

(この積分は,ここを参照する)

 

■確認問題

求まった答え  log| 3x2 |+log| x1 |+C  を微分し,積分前の式   6x5 3 x 2 5x+2  に戻ることを確認しなさい.


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最終更新日: 2023年11月24日