重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y$ 　　 $(D : x^{2} + y^{2} ≦ a x)$

$\frac{1}{3} π a^{3}$

領域 $D$ の範囲は円になっているので極座標に変数変換する．

領域 $D$

領域 $D$ の範囲を確認する．

$x^{2} + y^{2} ≦ a x$

$x^{2} - a x + y^{2} ≦ 0$

${(x - \frac{a}{2})}^{2} + y^{2} ≦ {(\frac{a}{2})}^{2}$

よって，領域 $D$ は中心が $(\frac{a}{2}, 0)$ ，半径が $\frac{a}{2}$ の内部になる．

極座標変換 $x = r \cos θ$ ， $y = r \sin θ$ を行うと， $(x, y)$ の領域 $D$ は図のような $(r, θ)$ の領域 $D^{'}$

$D^{'} : 0 ≦ r ≦ a \cos θ, - \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$

に移る．

領域 $D^{'}$

(与式) $= \iint_{D^{'}} \sqrt{a^{2} - r^{2}} \cdot r d r d θ$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\int_{0}^{a \cos θ} \sqrt{a^{2} - r^{2}} \cdot r d r) d θ$

$\int_{0}^{a \cos θ} \sqrt{a^{2} - r^{2}} \cdot r d r$ について

$t = \sqrt{a^{2} - r^{2}}$ とおく置換積分をする．

$\frac{d t}{d r} = - \frac{r}{\sqrt{a^{2} - r^{2}}}$ ， $\frac{d t}{d r} = - \frac{r}{t}$ ， $r d t = - t d t$

$r : 0 \to a \cos θ$ のとき $t : a \to a \sin θ$

よって

$\int_{0}^{a \cos θ} \sqrt{a^{2} - r^{2}} \cdot r d r$ $= - \int_{a}^{a \sin θ} t^{2} d t$

$= - {[\frac{1}{3} t^{3}]}_{a}^{a \sin θ}$

$= - \frac{1}{3} a^{3} \sin^{3} θ + \frac{1}{3} a^{3}$

$= \frac{1}{3} a^{3} (1 - \sin^{3} θ)$

したがって

(与式) $= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{3} a^{3} (1 - \sin^{3} θ) d θ$

$= \frac{1}{3} a^{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ - \frac{1}{3} a^{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} θ d θ$

$\sin^{3} θ$ は奇関数より， $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} θ d θ = 0$ 　（ここを参照）．よって

$= \frac{1}{3} a^{3} {[θ]}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - 0$

$= \frac{1}{3} π a^{3}$

最終更新日： 2023年8月22日