ベルヌーイの微分方程式

微分方程式 

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$  ${\displaystyle \left(n\ne 0,1\right)}$　･･････(1)

をベルヌーイの微分方程式という．

なお， ${\displaystyle n=0}$ のとき，(1)は線形微分方程式であり， ${\displaystyle n=1}$ のとき，(1)は変数分離形である．

■ベルヌーイの微分方程式の解法

(1)式を書き換えると

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$　･･････(2)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$  とおき，これを微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=\left(1-n\right)y^{-n}{y}^{\prime }}$

( ∵ 合成関数の微分より，${\displaystyle \frac{dz}{dx}}$${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dz}}$${\displaystyle =\frac{d}{dy}\left(y^{1-n}\right)\frac{dy}{dz}}$${\displaystyle =\left(1-n\right)y^{-n}\frac{dy}{dz}}$)

両辺に${\displaystyle y^n}$ をかけると

${\displaystyle y^n{z}^{\prime }=\left(1-n\right)y^{\prime }}$  

よって

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{1-n}{y}^n{z}^{\prime }}$

これを(2)に代入すると

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{y}^n{z}^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$  

両辺を${\displaystyle y^n}$ で割ると

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{z}^{\prime }+P\left(x\right)\frac{y}{y^n}=Q\left(x\right)}$  

${\displaystyle \frac{y}{y^n}=y^{1-n}=z}$  であるので

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{z}^{\prime }+P\left(x\right)z=Q\left(x\right)}$  

両辺に${\displaystyle 1-n}$ をかけると

${\displaystyle z^{\prime }+\left(1-n\right)P\left(x\right)z=\left(1-n\right)Q\left(x\right)}$  

となる．これは，1階線形微分方程式であるので

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$  の一般解は

であることを利用すると

よって一般解は

 

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　最終更新日： 2024年10月7日