線形微分方程式

微分方程式の中で，関数 ${\displaystyle y}$ 　とその導関数 ${\displaystyle y^{\prime }}$ ，${\displaystyle y^{″}}$ ， ${\displaystyle y^{‴}}$ ，･･･についての1次方程式

${\displaystyle A_n(x)y^{(n)}+A_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots }$ ${\displaystyle +A_2(x)y^{″}+A_1(x)y^{\prime }}$ ${\displaystyle +A_0(x)y=F(x)}$

を線形微分方程式という．また，${\displaystyle F\left(x\right)}$のことを非同次項という．

${\displaystyle F\left(x\right)=0}$ の場合，線形同次微分方程式といい，

${\displaystyle F\left(x\right)\ne 0}$ の場合，線形非同次微分方程式という．

線形微分方程式に含まれる導関数の最高次数が n 次だとすると，n 階線形微分方程式という．

■例

${\displaystyle y^{\prime }+x^{2}y=3}$　　･･････1階線形非同次微分方程式

${\displaystyle y^{″}+4y^{\prime }+3y=0}$　　･･････2階線形同次微分方程式(2階定数係数同次微分方程式)

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+y=e^{2x}}$　　･･････2階線形非同次微分方程式

${\displaystyle x^3{y}^{‴}+x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+y=0}$　　･･････3階線形同次微分方程式

 

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最終更新日： 2024年5月17日