微分演算子の線形性

導関数の基本式�Tを微分演算子 ${\displaystyle D}$を用いて表すと以下のようになる．

2，3より微分演算子${\displaystyle D}$は線形である．

${\displaystyle D\left\{ky\right\}=kDy}$  

${\displaystyle D^2\left\{ky\right\}=DD\left\{ky\right\}=D\left\{Dky\right\}}$${\displaystyle =D\left\{kDy\right\}}$${\displaystyle =k\left\{D\left(Dy\right)\right\}=k{D}^{2}y}$

${\displaystyle D^n\left\{ky\right\}=k{D}^{n}y}$  

となる．

${\displaystyle f\left(D\right)}$  は多項式であるので

${\displaystyle f\left(D\right)\left\{ky\right\}=kf\left(D\right)y}$  ･･････(1)

が成り立つ．

${\displaystyle D\left\{y+z\right\}=Dy+Dz}$  

${\displaystyle D^2\left\{y+z\right\}=D\left\{D\left(y+z\right)\right\}}$${\displaystyle =D\left\{Dy+Dz\right\}}$${\displaystyle =D\left\{Dy\right\}+D\left\{Dz\right\}}$${\displaystyle =D^{2}y+D^{2}z}$

${\displaystyle D^n\left\{y+z\right\}=D^{n}y+D^{n}z}$  

となる．

${\displaystyle f\left(D\right)}$ は多項式であるので

${\displaystyle f\left(D\right)\left\{y+z\right\}=f\left(D\right)y+f\left(D\right)z}$  ･･････(2)

が成り立つ．

(1)(2)より${\displaystyle f\left(D\right)}$ は線形である．

 

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最終更新日： 2023年6月22日