微分演算子の線形性

微分演算子の線形性

導関数の基本式T微分演算子 D を用いて表すと以下のようになる.

1 D{ c }=0 { c } =0 参照ページ
2 D { c f ( x ) } = c D { f ( x ) } { c f ( x ) } = c { f ( x ) } 参照ページ
3 D { f ( x ) ± g ( x ) } = D f ( x ) ± D g ( x )   { f ( x ) ± g ( x ) } = { f ( x ) } ± { g ( x ) } 参照ページ 
4 D { f ( x ) g ( x ) } = { D f ( x ) } g ( x ) + f ( x ) { D g ( x ) }   { f ( x ) g ( x ) } = { f ( x ) } g ( x ) + f ( x ) { g ( x ) }   参照ページ
5 D { 1 f ( x ) } = D f ( x ) { f ( x ) } 2 { 1 f ( x ) } = f ( x ) { f ( x ) } 2 参照ページ 
6 D { f ( x ) g ( x ) } = { D f ( x ) } g ( x ) f ( x ) { D g ( x ) } { g ( x ) } 2   { f ( x ) g ( x ) } = { f ( x ) } g ( x ) f ( x ) { g ( x ) } { g ( x ) } 2   参照ページ 

2,3より微分演算子 D 線形である.

D{ ky }=kDy  

D 2 { k y } = D D { k y } = D { D k y } = D { k D y } = k { D ( D y ) } = k D 2 y

D n { ky }=k D n y  

となる.

f( D )  は多項式であるので

f( D ){ ky }=kf( D )y  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

D{ y+z }=Dy+Dz  

D 2 { y + z } = D { D ( y + z ) } = D { D y + D z } = D { D y } + D { D z } = D 2 y + D 2 z

D n { y+z }= D n y+ D n z  

となる.

f( D ) 多項式であるので

f( D ){ y+z }=f( D )y+f( D )z  ・・・・・・(2)

が成り立つ.

(1)(2)より f( D ) 線形である.

 

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最終更新日: 2023年6月22日