未定係数法

非同次微分方程式の特殊解の形が表のようにあらかじめわかっている場合は，特殊解の形を微分方程式に代入して特殊解を定めることができる．この解法のことを未定係数法という．

以下に，定数係数非同次微分方程式 ${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}{y}^{\left(n-1\right)}+\cdots +A_1{y}^{\prime }+A_{0}y}$${\displaystyle =F\left(x\right)}$ の特殊解の形を示す．

非同次項が${\displaystyle r}$ 次の多項式${\displaystyle c_r{x}^r+c_{r-1}{x}^{r-1}+\cdots +c_{1}x+c_0}$ の場合

${\displaystyle A_0\ne 0}$ のとき， ${\displaystyle r}$ 次の多項式の特殊解をもつ　　　⇒ここを参照 ${\displaystyle A_0=0}$ のとき， ${\displaystyle r}$ 次の多項式に ${\displaystyle x}$ をかけた形が特殊解となる．　⇒ここを参照

　

非同次項が${\displaystyle k{e}^{ax}}$の場合

${\displaystyle f\left(a\right)\ne 0}$  のとき，特殊解は ${\displaystyle y=A{e}^{ax}}$  　　　⇒ここを参照 ${\displaystyle f\left(a\right)=0}$  であり ， ${\displaystyle t=a}$ が特性方程式 ${\displaystyle f\left(t\right)=0}$ の1重の解のとき，特殊解は ${\displaystyle y=Ax{e}^{ax}}$  　　　⇒ここを参照

　

非同次項が${\displaystyle h\sin ax+k\cos ax}$の場合

${\displaystyle f\left(ia\right)\ne 0}$ のとき，特殊解は ${\displaystyle y=Asinax+Bcosax}$ 　　　⇒ここを参照 ${\displaystyle f\left(ia\right)=0}$, であり ， ${\displaystyle t=ia}$ が特性方程式 ${\displaystyle f\left(t\right)=0}$ の1重の解のとき，特殊解は ${\displaystyle y=x\left(Asinax+Bcosax\right)}$ 　　　⇒ここを参照

 

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最終更新日： 2024年10月7日