証明

証明

2階定数係数同次微分方程式

y +a y +by=0

の一般解は,特性方程式  t 2 +at+b=0 の解によって以下のようになる

(1)実数解  α β ( αβ ) の場合

y= c 1 e αx + c 2 e βx

■証明

特性方程式が実数解 α β をもつ場合,特性方程式  f( t )

f( t )=( tα )( tβ )

と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は

f( D )y=0

( Dα )( Dβ )y=0   ・・・・・・(1)

となる.微分演算子の積となるので

( Dβ )y=z   ・・・・・・(2)

とおくと,(1)を

( Dα )z=0

とすることができる.まず, z を求める.

( Dα )[ e αx e αx z ]=0

ここで微分演算子の基本公式

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y  ・・・・・・(3)  詳細

を利用すると,次のように変形できる.

e αx D e αx z=0

D e αx z=0

d dx e αx z=0

この式から, e αx z は定数なので, e αx z= c 1 とすると ( c 1 は任意定数)

z= c 1 e αx  ・・・・・・(4)

となる.(4)を(2)に代入すると

( Dβ )y= c 1 e αx

( Dβ ) e βx e βx y= c 1 e αx

再び(3)公式を使うと

e βx D e βx y= c 1 e αx

両辺を e βx で割ると,

D e βx y= c 1 e αx e βx

d dx e βx y= c 1 e ( αβ )x

ここで両辺を積分すると,

e βx y= c 1 e ( αβ )x dx

= c 1 αβ e ( αβ )x + c 2   ( c 2 は任意定数)

また,両辺を e βx で割ると

y=( c 1 αβ e ( αβ )x + c 2 ) e βx

= c 1 αβ e ( αβ )x e βx + c 2 e βx

= c 1 αβ e αx + c 2 e βx

c 1 αβ = c 1 とおくと

= c 1 e αx + c 2 e βx

よって,

y= c 1 e αx + c 2 e βx

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 最終更新日: 2023年6月12日