証明
2階定数係数同次微分方程式
の一般解は,特性方程式
の解によって以下のようになる
(1)実数解
,
の場合
■証明
特性方程式が実数解
,
をもつ場合,特性方程式
は
と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は
・・・・・・(1)
となる.微分演算子の積となるので
・・・・・・(2)
とおくと,(1)を
とすることができる.まず,を求める.
ここで微分演算子の基本公式
・・・・・・(3) ⇒詳細
を利用すると,次のように変形できる.
この式から,
は定数なので,
とすると (
は任意定数)
・・・・・・(4)
となる.(4)を(2)に代入すると
再び(3)公式を使うと
両辺を
で割ると,
ここで両辺を積分すると,
(
は任意定数)
また,両辺を
で割ると
とおくと
よって,
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最終更新日:
2023年6月12日