証明

2階定数係数同次微分方程式

${\displaystyle y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式  ${\displaystyle t^2+at+b=0}$ の解によって以下のようになる

(1)実数解  ${\displaystyle \alpha }$， ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \left(\alpha \ne \beta \right)}$の場合

${\displaystyle y=c_1{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$

■証明

特性方程式が実数解 ${\displaystyle \alpha }$， ${\displaystyle \beta }$ をもつ場合，特性方程式  ${\displaystyle f\left(t\right)}$ は

${\displaystyle f\left(t\right)=\left(t-\alpha \right)\left(t-\beta \right)}$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$

${\displaystyle \left(D-\alpha \right)\left(D-\beta \right)y=0}$   ･･････(1)

となる．微分演算子の積となるので

${\displaystyle \left(D-\beta \right)y=z}$   ･･････(2)

とおくと，(1)を

${\displaystyle \left(D-\alpha \right)z=0}$

とすることができる．まず，${\displaystyle z}$を求める．

${\displaystyle \left(D-\alpha \right)\left[e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}z\right]=0}$

ここで微分演算子の基本公式

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}y\right]=e^{\alpha x}f\left(D+\alpha \right)y}$  ･･････(3)　　⇒詳細

を利用すると，次のように変形できる．

${\displaystyle e^{\alpha x}D{e}^{-\alpha x}z=0}$

${\displaystyle D{e}^{-\alpha x}z=0}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^{-\alpha x}z=0}$

この式から，${\displaystyle e^{-\alpha x}z}$ は定数なので， ${\displaystyle e^{-\alpha x}z={c^{\prime }}_1}$ とすると (${\displaystyle {c^{\prime }}_1}$ は任意定数)

${\displaystyle z={c^{\prime }}_1{e}^{\alpha x}}$  ･･････(4)

となる．(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle \left(D-\beta \right)y={c^{\prime }}_1{e}^{\alpha x}}$

${\displaystyle \left(D-\beta \right)e^{\beta x}{e}^{-\beta x}y={c^{\prime }}_1{e}^{\alpha x}}$

再び(3)公式を使うと

${\displaystyle e^{\beta x}D{e}^{-\beta x}y={c^{\prime }}_1{e}^{\alpha x}}$

両辺を${\displaystyle e^{\beta x}}$ で割ると，

${\displaystyle D{e}^{-\beta x}y={c^{\prime }}_1{e}^{\alpha x}{e}^{-\beta x}}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^{-\beta x}y={c^{\prime }}_1{e}^{\left(\alpha -\beta \right)x}}$

ここで両辺を積分すると，

${\displaystyle e^{-\beta x}y={\displaystyle \int {c^{\prime }}_1{e}^{\left(\alpha -\beta \right)x}dx}}$

${\displaystyle =\frac{{c^{\prime }}_1}{\alpha -\beta }{e}^{\left(\alpha -\beta \right)x}+c_2}$  (${\displaystyle c_2}$ は任意定数)

また，両辺を${\displaystyle e^{-\beta x}}$ で割ると

${\displaystyle y=\left(\frac{{c^{\prime }}_1}{\alpha -\beta }{e}^{\left(\alpha -\beta \right)x}+c_2\right)e^{\beta x}}$

${\displaystyle =\frac{{c^{\prime }}_1}{\alpha -\beta }{e}^{\left(\alpha -\beta \right)x}{e}^{\beta x}+c_2{e}^{\beta x}}$

${\displaystyle =\frac{{c^{\prime }}_1}{\alpha -\beta }{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$

${\displaystyle \frac{{c^{\prime }}_1}{\alpha -\beta }=c_1}$ とおくと

${\displaystyle =c_1{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$

よって，

${\displaystyle y=c_1{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$

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　最終更新日： 2024年5月17日