証明

2階定数係数同次微分方程式

${\displaystyle y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式 ${\displaystyle t^2+at+b=0}$ の解によって以下のようになる．

(2)実数解  ${\displaystyle \alpha }$ (重解)の場合

${\displaystyle y=\left(c_1+c_{2}x\right)e^{\alpha x}}$

■証明

特性方程式が重解${\displaystyle \alpha }$ をもつ場合，特性方程式  ${\displaystyle f\left(t\right)}$ は

${\displaystyle f\left(t\right)={\left(t-\alpha \right)}^2}$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^{2}y=0}$

となる．${\displaystyle e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}=1}$ を使って書き換えると次のようになる．

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^2\left[e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}y\right]=0}$

ここで，微分演算子の基本公式

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}y\right]=e^{\alpha x}f\left(D+\alpha \right)y}$   ⇒詳細

を利用すると，

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^2\left[e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}y\right]}$${\displaystyle =e^{\alpha x}{\left\{\left(D+\alpha \right)-\alpha \right\}}^2\left[e^{-\alpha x}y\right]}$${\displaystyle =e^{\alpha x}{D}^2\left[e^{-\alpha x}y\right]}$${\displaystyle =0}$

よって，

${\displaystyle D^2\left[e^{-\alpha x}y\right]=0}$

ここで${\displaystyle e^{-\alpha x}y=z}$ とおくと

${\displaystyle D^{2}z=0}$

つまり，

${\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{x}^2}=0}$

これを積分すると

${\displaystyle \frac{dz}{dx}=c_2}$

となり，もう一度積分すると

${\displaystyle z=c_1+c_{2}x}$

となる(ただし ${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ は任意定数)．よって

${\displaystyle e^{-\alpha x}y=c_1+c_{2}x}$

両辺に ${\displaystyle e^{\alpha x}}$ かけると

${\displaystyle y=\left(c_1+c_{2}x\right)e^{\alpha x}}$

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　最終更新日： 2024年5月17日