定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式

${\displaystyle f\left(D\right)y=hsinax+kcosax}$

について

(1)   ${\displaystyle f\left(ia\right)\ne 0}$ ならば，この微分方程式は

${\displaystyle y=Asinax+Bcosax}$  

という形の特殊解をもつ．

■導出

${\displaystyle f\left(D\right)y=h\sin ax+k\cos ax}$  

両辺を${\displaystyle f\left(D\right)}$ で割ると

${\displaystyle y}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}\left(h\sin ax+k\cos ax\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}h\sin ax+\frac{1}{f\left(D\right)}k\cos ax}$

${\displaystyle =h\frac{1}{f\left(D\right)}\sin ax+k\frac{1}{f\left(D\right)}\cos ax}$　･･････(1)

ここで，${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{iax}}$  を計算する．

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{iax}=\frac{1}{f\left(ia\right)}{e}^{iax}}$      （${\displaystyle \because f\left(ia\right)\ne 0}$ 　　　逆演算子の公式）

${\displaystyle \frac{1}{f\left(ia\right)}=C+iE}$  とすると

${\displaystyle \frac{1}{f\left(ia\right)}{e}^{iax}}$${\displaystyle =\left(C+iE\right)e^{iax}}$

${\displaystyle =\left(C+iE\right)\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$

ところで

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{iax}=\frac{1}{f\left(D\right)}\left(\cos ax+i\sin ax\right)}$  　　　（∵オイラーの公式）

であるので

この式の実部と虚部を比較すると

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\cos ax=C\cos ax-E\sin ax}$  

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\sin ax=C\sin ax+E\cos ax}$  

この2つの式を(1)に代入すると

${\displaystyle hC-kE=A}$  ，${\displaystyle hE+kC=B}$  とおくと

${\displaystyle y=A\sin ax+B\cos ax}$  

 

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最終更新日： 2024年5月17日