同時確率密度関数のベクトル，行列，行列式を用いた表記への変換1

このページの(30)と(31)の比較より

${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)}$ ${\displaystyle =h\left(y_1,y_2\right)\left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|}$

このページの(15)の ${\displaystyle h\left(y_1,y_2\right)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2\right)}}$ を代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2\right)}\left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|}$

このページの(34)の ${\displaystyle \left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|=\frac{1}{\left|\left|A\right|\right|}}$ を代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2\right)}\cdot \frac{1}{\left|\left|A\right|\right|}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi \left|\left|A\right|\right|}{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2\right)}}$   ･･････(1)

となる．

(1)をベクトル，行列，行列式を用いた表記に変換するには， ${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ の部分を書き換えるとよい．

まず，下準備をする．

このページの(23)より

${\displaystyle X=AY+\mu }$   ･･････(2)

${\displaystyle AY=X-\mu }$   ･･････(3)

${\displaystyle Y=A^{-1}\left(X-\mu \right)}$   ･･････(4)

が得られる．

確率ベクトル ${\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle Y=\left(\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\end{array}\right)}$ から実現値を成分にもつベクトル ${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)}$ に切り替えると

${\displaystyle y=A^{-1}\left(x-\mu \right)}$   ･･････(5)

となる．この(5)を用いて， ${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ を以下のように書き換える．

${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ ${\displaystyle ={}^{t}yy}$

${\displaystyle ={}^t\left\{A^{-1}\left(X-\mu \right)\right\}\left\{A^{-1}\left(X-\mu \right)\right\}}$

${\displaystyle ={}^t\left(X-\mu \right){}^t\left(A^{-1}\right)A^{-1}\left(X-\mu \right)}$

${\displaystyle ={}^t\left(X-\mu \right){\left({}^{t}A\right)}^{-1}{A}^{-1}\left(X-\mu \right)}$

逆行列の性質${\displaystyle {\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}}$ より

${\displaystyle ={}^t\left(X-\mu \right){\left(A{}^{t}A\right)}^{-1}\left(X-\mu \right)}$   ･･････(6)

(6)を(1)に代入する．そのとき， ${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)}$ を ${\displaystyle p\left(x\right)}$ に書き換える．

${\displaystyle p\left(x\right)=\frac{1}{2\pi \left|\left|A\right|\right|}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\left(A{}^{t}A\right)}^{-1}\left(x-\mu \right)}}$   ･･････(7)

となる．

${\displaystyle X}$ の分散共分散行列を求める．

${\displaystyle \text{Var}\left(X\right)=E\left(\left(X-\mu \right){}^t\left(X-\mu \right)\right)}$

${\displaystyle =E\left(\left(AY\right){}^t\left(AY\right)\right)}$

${\displaystyle =E\left(AY{}^{t}Y{}^{t}A\right)}$

${\displaystyle E\left(X\right)}$ の性質を用いて式変形をすると

${\displaystyle =AE\left(Y{}^{t}Y\right){}^{t}A}$

${\displaystyle =AI{}^{t}A}$

${\displaystyle =A{}^{t}A}$

${\displaystyle A{}^{t}A=\Sigma }$   ･･････(8)

とおいているので

${\displaystyle =\Sigma }$

したがって， ${\displaystyle \Sigma }$ は確率ベクトル ${\displaystyle X}$ の分散共分散行列になる．

${\displaystyle A{}^{t}A=\Sigma }$ より，両辺の行列式をとる．

${\displaystyle \left|A{}^{t}A\right|=\left|\Sigma \right|}$

${\displaystyle \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$ の関係より

${\displaystyle \left|A\right|\left|{}^{t}A\right|=\left|\Sigma \right|}$

${\displaystyle \left|A\right|=\left|{}^{t}A\right|}$ の関係より

${\displaystyle \left|A\right|\left|A\right|=\left|\Sigma \right|}$

${\displaystyle {\left|A\right|}^2=\left|\Sigma \right|}$

${\displaystyle \left|\left|A\right|\right|={\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}$   ･･････(9)

ただし， ${\displaystyle \left|\left|A\right|\right|}$ は行列 ${\displaystyle A}$ の行列式 ${\displaystyle \left|A\right|}$ の絶対値

(8)，(9)を(7)に代入すると

${\displaystyle p\left(x\right)=\frac{1}{2\pi {\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}}$

が得られる．

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最終更新日： 2026年7月22日