単回帰分析学習アプリ

回帰モデルからデータを生成し，最小二乗法による単回帰分析を可視化するツール

●目次

アプリの概要
主な機能
使い方
画面に表示される統計量

1 アプリの概要

このアプリは，既知の回帰モデルからランダムにデータを生成し，そのデータに対して 単回帰分析（最小二乗法）を行って結果を可視化する教育・実験用ツールである．「データを再生成」を繰り返す（または 1 クリックで複数回まとめて生成する）ことで，推定値（傾き・切片）が試行ごとにどのようにばらつくか，そのばらつきが理論分布とどう一致するかを，表とグラフで直感的に確認できる．

真の回帰モデル

y_{i} = {\hat{β}}_{1} x_{i} + {\hat{β}}_{0} + ε_{i}

（

x_{i}

は1～５の間で等間隔で

n

個サンプリング／

ε_{i} \sim N (0, σ^{2})

）

モデルの傾き ${\hat{β}}_{1}$ ， $y$ 切片 ${\hat{β}}_{0}$ ，サンプル数 $n$ ，誤差の標準偏差 $σ$ は画面上部の入力欄で変更できる．(初期値は ${\hat{β}}_{1} = 0.5$ ， ${\hat{β}}_{0} = 2$ ， $n = 5$ ， $σ = 0.6$ ）．説明変数 $x$ は 1～５の間で等間隔で $n$ 個サンプリングする． $1$ ～ $5$ の間で等間隔で $n$ 個サンプリングは $３$ ～ $10$ の範囲で指定．例： $n = 3$ なら $x = 1, 3, 5$ ， $n = 5$ なら $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ) ．誤差項 $ε_{i}$ は平均 0，標準偏差 $σ$ ( $0.5$ ～ $1$ を $0.1$ 刻みで指定) の正規分布に従う乱数として Box-Muller 法で生成さる．

2 主な機能

モデル設定
モデルの傾き ${\hat{β}}_{1}$ ， $y$ 切片 ${\hat{β}}_{0}$ ，サンプル数 $n$ ，誤差の標準偏差 $σ$ は画面上部の入力欄で変更できる． $x$ は $1$ ～ $5$ の間で等間隔で $n$ 個サンプリングする．変更すると履歴はクリアされ，新しい設定でデータが再生成される．グラフの表示範囲も自動で調整される．
回帰グラフ
データ点（青）と回帰直線（赤）を描画．回帰直線の式もグラフ内に表示される．
生データ表
各点の $x_{i}$ ，誤差 $ε_{i}$ ， $y_{i}$ ，予測値 ${\hat{y}}_{i}$ ，残差 $e_{i}$ を一覧表示．
係数の履歴表
再生成のたびに，傾き ${\hat{β}}_{1}$ ，切片 ${\hat{β}}_{0}$ ，残差平方和，標準誤差， $t$ 値( $t_{1}$ ， $t_{0}$ )を追加し，平均や分散も集計．
$t_{1}$ ， $t_{0}$ の度数分布
$t_{1}$ と $t_{0}$ の相対度数ヒストグラムを横並びで表示．それぞれに自由度 $n - 2$ の $t$ 分布の密度関数を重ねて描画（サンプル数 $n$ に応じて曲線も切り替わる）．
サンプリング回数の指定
1クリックで生成する回数を入力欄で指定できる．「データを再生成」でその回数分，「＋10回」「＋100回」でまとめて実行し，履歴に一括で蓄積される．

3 使い方

アプリを開く：上部の「アプリを開く」ボタンで開く．
初期表示を確認：ページを開いた時点で1組のデータが自動生成され，回帰直線・回帰式・各表が表示される．
モデルを設定する（任意）：ページ上部の入力欄で、真の傾き ${\hat{β}}_{1}$ ， $y$ 切片 ${\hat{β}}_{0}$ ，サンプル数 $n$ （ $3$ 〜 $10$ ），誤差の標準偏差 $σ$ （ $0.5$ 〜 $1$ 、 $0.1$ 刻み）を変更できる． $x$ は $1$ 〜 $5$ の範囲を $n$ 点で等間隔にサンプリングする．値を変更すると履歴はクリアされ、新しい設定で1組のデータが再生成される．初期値（ ${\hat{β}}_{1} = 0.5$ ， ${\hat{β}}_{0} = 2$ ， $n = 5$ ， $σ = 0.6$ ）のまま使うこともできる．
サンプリング回数を決める：「サンプリング回数（1クリックあたり）」の入力欄に，1回のクリックで生成する回数（ $1$ 〜 $100000$ ）を入れる．初期値は $1$ である．
「データを再生成」を押す：入力した回数分だけ新しい乱数でデータ生成と回帰分析が繰り返され，各回の係数が履歴表に追加される．まとめて増やしたいときは 「＋10回」「＋100回」を使うと，その回数分を一括で実行できる．
（グラフ，生データ表，回帰式は最新の1組だけを表示し，平均，分散，ヒストグラム，履歴表はすべての試行を反映する．）
ばらつきを観察：右横の平均，分散パネルと ${\hat{β}}_{1}$ ， ${\hat{β}}_{0}$ のヒストグラムを見ながら，推定値のばらつきが理論値（真の値や $t$ 分布）に近づく様子を確認する．回数を多くするほど分布がなめらかになる．
「履歴をクリア」で初期化：「＋100回」ボタンの右隣にある「履歴をクリア」で，蓄積した履歴をリセットして集計をやり直せる．

● 青：観測データ点／ヒストグラム ● 赤：回帰直線／

t

分布の密度関数

4 画面に表示される統計量

項目	意味・計算式
傾き ${\hat{β}}_{1}$	最小二乗法による回帰係数の推定値（真の値は入力欄で設定，初期値は 0.5）
切片 ${\hat{β}}_{0}$	回帰直線の切片の推定値（真の値は入力欄で設定，初期値は 2）
予測値 ${\hat{y}}_{i}$	${\hat{β}}_{1} x + {\hat{β}}_{0}$ （回帰直線上の値）
残差 $e_{i}$	$y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ （実測値と予測値の差）
残差平方和 $SSE$	$\sum {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$
決定係数 $R^{2}$	回帰の当てはまりの良さ（0〜1）
誤差分散の推定量	$σ^{2} = \frac{SSE}{n - 2}$ （真の値 $σ^{2}$ は入力した標準偏差の2乗。初期値 $σ = 0.6$ なら $σ^{2} = 0.36$ ． $n = 5$ なら $σ^{2} = \frac{SSE}{3}$ ）
標準誤差 $SE ({\hat{β}}_{1})$ , $SE ({\hat{β}}_{0})$	推定値のばらつきの大きさ
$t$ 値 $t_{1}$ , $t_{0}$	$t_{1} = \frac{{\hat{β}}_{1} - β_{1}}{SE ({\hat{β}}_{1})}$ ， $t_{0} = \frac{{\hat{β}}_{0} - β_{0}}{SE ({\hat{β}}_{0})}$ ．自由度 $n - 2$ の $t$ 分布に従う．ただし， $β_{1}$ は真の傾き， $β_{0}$ は真の切片

ヒント：推定パラメータ数が 2 なので、自由度はサンプル数

n

から 2 を引いた

n - 2

です（初期値の

n = 5

なら自由度 3）。再生成を数十回繰り返すと、

{\hat{β}}_{1}

，

{\hat{β}}_{0}

のヒストグラム（相対度数）が赤い自由度

n - 2

の

t

分布曲線に近づいていくのが観察できる．

n

を小さくすると裾の重い分布に、大きくすると正規分布に近い形になることも確かめられる．

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最終更新日：2026年9月13日