Σｋの4乗の計算式

∑ k=1 n k 4 の計算式 

数列 1 4 , 2 4 , 3 4 ,⋯, n 4 の和（和記号Σを参照）

∑ k = 1 n k 4 = 1 4 + 2 4 + 3 4 + ⋯ + n 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 )

■公式の導出

( k+1 ) 5 − k 5 =5 k 4 +10 k 3 +10 k 2 +5k+1 に順に k=1,2,3,⋯,n  代入し，下のように縦にそろえて加えると

  2 5 − 1 5 = 5· 1 4       +10· 1 3      +10· 1 2      +5·1      +1
  3 5 − 2 5 = 5· 2 4       +10· 2 3      +10· 2 2      +5·2   +1
  4 5 − 3 5 = 5· 3 4       +10· 3 3      +10· 3 2      +5·3   +1
    ⋅          
    ⋅          
    ⋅          
+)      ( n+1 ) 5 − n 5 = 5· n 4       +10· n 3      +10· n 2      +5·n   +1
          ( n+1 ) 5 − 1 5    =5 ∑ k−1 n k 4 +10 ∑ k−1 n k 3 +10 ∑ k−1 n k 2 + ∑ k−1 n k +n ¯


上式に ∑ k=1 n k = 1 2 n( n+1 ) （参照） ， ∑ k=1 n k 2 = 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) （参照） ， ∑ k=1 n k 3 = { 1 2 n( n+1 ) } 2 （参照） を代入すると

( n+1 ) 5 −1 =5 ∑ k=1 n k 4 +10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } +5{ 1 2 n( n+1 ) }+n

となり，この式を整理すると

5 ∑ k=1 n k 4 ={ ( n+1 ) 5 −1 } −[ 10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) }+5{ 1 2 n( n+1 ) }+n ]

5 ∑ k=1 n k 4 = ( n+1 ) 5 −1 −10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 −10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } −5{ 1 2 n( n+1 ) }−n

∑ k=1 n k 4 = 1 5 n+1 5 −1−10 1 2 n n+1 2 −10 1 6 n n+1 2n+1 −5 1 2 n n+1 −n

= 1 5 [ ( n+1 ) 5 −10× 1 4 n 2 ( n+1 ) 2 − 5 3 n( n+1 )( 2n+1 )− 5 2 n( n+1 )−n−1 ]

= 1 5 { ( n+1 ) 5 − 5 2 n 2 ( n+1 ) 2 − 5 3 n( n+1 )( 2n+1 )− 5 2 n( n+1 )−( n+1 ) }

= 1 5 ( n+1 ){ ( n+1 ) 4 − 5 2 n 2 ( n+1 )− 5 3 n( 2n+1 )− 5 2 n−1 }

= 1 5 ( n+1 )( n 4 +4 n 3 +6 n 2 +4n+1− 5 2 n 3 − 5 2 n 2 − 10 3 n 2 − 5 3 n− 5 2 n−1 )

= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 4− 5 2 ) n 3 +( 6− 5 2 − 10 3 ) n 2 +( 4− 5 3 − 5 2 )n }

= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 8−5 2 ) n 3 +( 36−15−20 6 ) n 2 +( 24−10−15 6 )n }

= 1 5 ( n+1 )( n 4 + 3 2 n 3 + 1 6 n 2 − 1 6 n )

= 1 30 n( n+1 )( 6 n 3 +9 n 2 +n−1 )

更にここで，    f( n )=6 n 3 +9 n 2 +n−1   とおくと

f( − 1 2 ) =6 ( − 1 2 ) 3 +9 ( − 1 2 ) 2 +( − 1 2 )−1

=− 6 8 + 9 4 − 1 2 −1

=− 3 4 + 9 4 − 2 4 − 4 4

= −3+9−2−4 4

=0

よって，  n+ 1 2   を因数にもつので


   6 n 2 +6n−2 		 
n+ 1 2   ) 6 n 3 +9 n 2 +   n−1 ¯  
     6 n 3 +3 n 2  
                    6 n 2 +   n              ¯  
                    6 n 2 +3n  
                                −2n−1 ¯  
                               −2n−1  
                                                   0 ¯  

以上より

f( n ) =( n+ 1 2 )( 6 n 2 +6n−2 )

=2( n+ 1 2 )( 3 n 2 +3n−1 )

=( 2n+1 )( 3 n 2 +3n−1 )

これを代入すると

∑ k=1 n k 4 = 1 30 n( n+1 )( 2n+1 )( 3 n 2 +3n−1 )

となり， ∑ k=1 n k 4 が求まる.

 

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最終更新日： 2023年12月14日