減衰振動 ： 微分方程式の解法 (solution of differential equation)
減衰振動の従う微分方程式
d2x
dt2
+2γ
dx
dt
+
ω02x
=0
（
γ
，
ω0
：正定数）
- - - (1)
の一般解を求める： 解法1 解法2 （初期値問題は ⇒）
解法1
式(1)は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので，解を
x=
e
λt
とおくと，
dx
/
dt
=λ
eλt
，
d2
x
/
d
t2
=
λ2
eλt
より
d2x
dt2
+2γ
dx
dt
+
ω02x
=
λ2
eλt
+
2γλ
eλt
+
ω02
eλt
=
(
λ2
+
2γλ
+
ω02
)
eλt
=0
となり，
eλt
≠0
から，特性方程式
λ2
+
2γλ
+
ω02
=0
- - - (2)
を得る．この特性方程式の解は
λ=
−γ±
γ2
−
ω02
- - - (3)
となり，
λ1=
−γ+
γ2
−
ω02
，
λ2=
−γ−
γ2
−
ω02
とおくと，式(1)の一般解は2つの独立な解
eλ1t
，
eλ2t
の線形結合
x=
c1
eλ1t
+
c2
eλ2t
（
c1
，
c1
：任意定数） - - - (4)
として求まるが，より正確には式(3)の根号内の
γ2
−
ω02
の符号によって場合分けする必要がある：
(i)
γ2
−
ω02
<0
の場合 （
γ<
ω0
： 不足減衰）
この場合，式(3)の根号内の
γ2
−
ω02
は負であるので，
γ2
−
ω02
=i
ω02
−
γ2
=iω
- - - (5)
とおくと，特性方程式の2つの解は共役複素根として，
λ1=
−γ+
iω
，
λ2=
−γ−
iω
と表される．
したがって，オイラーの公式
e±iθ
=
cosθ±isinθ
を用いると，2つの独立な解は
eλ1t
=
e
(
−γ+iω
)
t
=
e−γt
eiωt
=
e−γt
(
cosωt
+
isinωt
)
eλ2t
=
e
(
−γ−iω
)
t
=
e−γt
e−iωt
=
e−γt
(
cosωt
−
isinωt
)
となる．よって，一般解は
x=
c1
eλ1t
+
c2
eλ2t
=
e−γt
{
(
c1
+
c2
)
cosωt
+i
(
c1
−
c2
)
sinωt
}
と書ける．物理量
x
が実数であることを考えると，
c1
=
(
A1
+i
A2
)
/2
，
c2
=
(
A1
−i
A2
)
/2
とおいて
x=
e−γt
(
A1
cosωt
+
A2
sinωt
)
（
A1
，
A2
： 任意定数（実数））
- - - (6)
が求まる（2つの独立な解として，
e−γt
cosωt
，
e−γt
sinωt
を選び，それらの線形結合をとることに対応）．
また，
A=
A12
+
A22
，
cosα=
A1
/A
，
sinα=−
A2
/A
とおいて，加法定理を用いると，一般解は
x=A
e−γt
cos(ωt+α)
（
A
，
α
： 任意定数）
- - - (7)
と書ける．
(ii)
γ2
−
ω02
>0
の場合 （
γ>
ω0
： 過減衰）
この場合，特性方程式は2つの異なる実数根を持ち，
η=
γ2
−
ω02
とおくと，
λ1=
−γ+
η
，
λ2=
−γ−
η
より
x=
c1
eλ1t
+
c2
eλ2t
=
c1
e
(−γ+η)t
+
c2
e
(−γ−η)t
=
e−γt
(
c1
eηt
+
c2
e−ηt
)
- - - (8)
となる（
c1
，
c2
：任意定数）．
η<γ
なので，
λ1
,
λ2
<0
であり，2つの独立な解
e
λ1t
，
e
λ2t
はともに減少関数である．
(iii)
γ2
−
ω02
=0
の場合 （
γ=
ω0
： 臨界減衰）
この場合，特性方程式はただ一つの実数根
λ=−γ
（実重根）を持ち，2つの独立な解の一つは
x1=
e−γt
である．
もう一つの解は，階数低減法によって求める．まず，
t
の関数
u(t)
を用いて，もう一つの解を
x2=
e−γt
u
とおくと，
dx2
dt
=
−γ
e−γt
u
+
e−γt
du
dt
，
d2x2
dt2
=
γ2
e−γt
u
−2γ
e−γt
du
dt
+
e−γt
d2u
dt2
であるので，これらを式(1)に代入すると
(
γ2
e−γt
u
−2γ
e−γt
du
dt
+
e−γt
d2u
dt2
)
+2γ
(
−γ
e−γt
u
+
e−γt
du
dt
)
+
ω02
e−γt
u
=
e−γt
d2u
dt2
−
(
γ2
−
ω02
)
e−γt
u
=0
今，
γ2
−
ω02
=0
なので，上式は結局
d2u
dt2
=0
となり，2回積分すると
u(t)
=
c1
+
c2t
（
c1
，
c2
：任意定数）
が得られるが，もう一つの独立な解
x2
を求めるには単純に
u(t)
=t
とすればよいので，
x2=
te−γt
が求まる．したがって，一般解は
x=
c1x1
+
c2x2
=
c1
e−γt
+
c2t
e−γt
=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
- - - (9)
となる（
c1
，
c2
：任意定数）．（実は，
u(t)
=
c1
+
c2t
とすれば，
x=
u
e−γt
=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
が一般解を表す．）
解法2 ページトップ
式(1)の解を
x=
e
−γt
u
の形におく（
u
は
t
の関数
）と，
dx
dt
=
−γ
e−γt
u
+
e−γt
du
dt
，
d2x
dt2
=
γ2
e−γt
u
−2γ
e−γt
du
dt
+
e−γt
d2u
dt2
であるので，これらを式(1)に代入すると
(
γ2
e−γt
u
−2γ
e−γt
du
dt
+
e−γt
d2u
dt2
)
+2γ
(
−γ
e−γt
u
+
e−γt
du
dt
)
+
ω02
e−γt
u
=
e−γt
d2u
dt2
−
(
γ2
−
ω02
)
e−γt
u
=
e−γt
(
d2u
dt2
−
(
γ2
−
ω02
)
u
)
=0
となる．ここで，
e−γt
≠0
であるので，
d2u
dt2
−
(
γ2
−
ω02
)
u
=0
- - - (10)
が
u
について成り立つ．この式(10)について
γ2
−
ω02
の符号により3つの場合に分ける：
(i)
γ2
−
ω02
<0
の場合 （
γ<
ω0
： 不足減衰）
ω=
ω02
−
γ2
- - - (11)
とおくと，式(10)は
d2u
dt2
+
ω2
u
=0
- - - (12)
となり，単振動の従う微分方程式と一致する．その特性方程式
λ2
+
ω2
=
(λ−iω)
(λ+iω)
=0
の解は
λ=±iω
であるので，式(12)の一般解は
u=
A1
cosωt
+
A2
sinωt
（
A1
,
A2
： 任意定数）
- - - (13)
あるいは，
u=
Acos
(
ωt+α
)
（
A , α
： 任意定数）
- - - (14)
と求まる．したがって，
x=
e
−γt
u
より，式(1)の一般解として
x=
e−γt
(
A1
cosωt
+
A2
sinωt
)
（
A1
，
A2
： 任意定数）
- - - (15)
あるいは，
x=A
e−γt
cos(ωt+α)
（
A
，
α
： 任意定数）
- - - (16)
が得られる．
(ii)
γ2
−
ω02
>0
の場合 （
γ>
ω0
： 過減衰）
η=
γ2
−
ω02
- - - (17)
とおくと，式(10)は
d2u
dt2
−
η2
u
=0
- - - (18)
となり，その特性方程式
λ2
−
η2
=
(λ−η)
(λ+η)
=0
の解は
λ=±η
であるので，式(12)の一般解は
u=
c1
eηt
+
c2
e−ηt
（
c1
，
c2
：任意定数）
- - - (19)
と求まる．したがって，式(1)の一般解は
x=
e
−γt
u
より
x=
e−γt
(
c1
eηt
+
c2
e−ηt
)
（
c1
，
c2
：任意定数） - - - (20)
となる．
(iii)
γ2
−
ω02
=0
の場合 （
γ=
ω0
： 臨界減衰）
この場合，式(10)左辺の第2項目がゼロになるので，
d2u
dt2
=0
- - - (21)
である．上式を2回積分すると
u=
c1
+
c2t
（
c1
，
c2
：任意定数）が得られるので，式(1)の一般解は
x=
e
−γt
u
より
x=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
（
c1
，
c2
：任意定数） - - - (22)
と求まる．
初期値問題 ページトップ
初期条件
x(0)=
x0
，
v(0)=
v0
を満たす特殊解を求める（
v(t)=
dx/
dt
）．
(i)
γ2
−
ω02
<0
の場合 （
γ<
ω0
： 不足減衰）
一般解を
x=
e−γt
(
A1
cosωt
+
A2
sinωt
)
とした場合
v=
dx
dt
=−
e−γt
{
(
γA1
−
ωA2
)
cosωt
+
(
ωA1
+
γA2
)
sinωt
}
初期条件より
x(0)
=
e0
(
A1cos0
+
A2sin0
)
=A1
=x0
v(0)
=−
e0
{
(
γA1
−
ωA2
)
cos0
+
(
ωA1
+
γA2
)
sin0
}
=
−γA1
+
ωA2
=v0
⇒
A2
=
x0γ
+
v0
ω
なので，初期条件を満たす解は次式となる．
x=
e−γt
(
x0
cosωt
+
x0γ
+
v0
ω
sinωt
)
- - - (23)
一般解を
x=A
e−γt
cos(ωt+α)
とした場合
v=
dx
dt
=−A
e−γt
{
γcos
(ωt+α)
+
ωsin
(ωt+α)
}
初期条件より
x(0)
=A
e0
cos(0+α)
=Acosα
=x0
v(0)
=−
A
e0
{
γcos
(0+α)
+
ωsin
(0+α)
}
=
−γAcosα
−ωAsinα
=v0
⇒
Asinα
=
−
x0γ
+
v0
ω
なので，任意定数
A
，
α
は
A2
=
(Acosα)
2
+
(Asinα)
2
=
x02
+
(
−
x0γ
+
v0
ω
)2
=
x02
+
(
x0γ
+
v0
)2
ω2
- - - (24)
tanα
=
sinα
cosα
=
−
x0γ
+
v0
ω
x0
=
−
x0γ
+
v0
x0ω
(
x0
≠0
)
- - - (25)
を満たすように決定する（
x0
=0
のときは，
cosα=0
を満たす
α
を考えればよい
）．
この場合，
A
については正負の，
α
については
nπ
（
n
：整数）の任意性が残っているが，
A>0
と制限すると，
A=
x02
+
(
x0γ
+
v0
)2
ω2
- - - (26)
であり，
α
については，次の2式
cosα=
x0
A
=
x0ω
(
x0ω
)
2
+
(
x0γ
+
v0
)2
，
sinα=−
x0γ
+v0
Aω
=−
x0γ
+v0
(
x0ω
)
2
+
(
x0γ
+
v0
)2
- - - (27)
を同時に満たすように
−π<α≤π
の範囲内で考えれば，一意的に決まる．
(ii)
γ2
−
ω02
>0
の場合 （
γ>
ω0
： 過減衰）
一般解 ：
x=
e−γt
(
c1
eηt
+
c2
e−ηt
)
v=
dx
dt
=−
e−γt
{
(γ−η)
c1
eηt
+
(γ+η)
c2
e−ηt
}
初期条件より
x(0)
=
e0
(
c1e0
+
c2e0
)
=c1
+c2
=x0
v(0)
=−
e0
{
(γ−η)
c1
e0
+
(γ+η)
c2
e0
}
=−
(γ−η)
c1
−
(γ+η)
c2
=v0
上の2式を連立させて
c1
，
c2
を求めると
c1
=
(γ+η)
x0
+
v0
2η
，
c2
=−
(γ−η)
x0
+
v0
2η
- - - (28)
が得られる．したがって，初期条件を満たす解は次式となる．
x=
(γ+η)
x0
+
v0
2η
e−(
γ−η
)t
−
(γ−η)
x0
+
v0
2η
e−(
γ+η
)t
- - - (29)
(iii)
γ2
−
ω02
=0
の場合 （
γ=
ω0
： 臨界減衰）
一般解 ：
x=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
v=
dx
dt
=
{
c2
−γ(
c1
+
c2
t)
}
e−γt
初期条件より
x(0)
=
(
c1
+
0
)
e0
=c1
=x0
v(0)
=
{
c2
−γ
(
c1+0
)
}
e0
=c2
−γc1
=v0
⇒
c2=
x0γ
+v0
なので，初期条件を満たす解は次式となる．
x=
{
x0
+(
x0γ
+v0
)t
}
e−γt
- - - (30)
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