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減衰振動 ： ばね‐質量‐ダンパー系 (spring - mass - damper system)

ばねの先端に取り付けられたおもりにダンパー（制動器）を取り付けた系（ばね‐質量系にダンパーを加えた系：ばね‐質量‐ダンパー系）の運動を考える．ダンパーはおもりの運動を抑制する抵抗力をおもりに加える役割を果たす．

このばね‐質量‐ダンパー系の数学モデルを得るために以下を仮定する：

• 重力加速度の大きさ ${\displaystyle g}$ は一定である．
• おもりは質量 ${\displaystyle m}$ の質点である．
• ばねの質量およびダンパーの可動部の質量はゼロである（おもりと可動部の質量を合わせて ${\displaystyle m}$ としてもよい）．
• ばねは常にフックの法則に従い，その弾性定数（ばね定数）を ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (>0)}$ とする．
• ダンパーはおもりの速度に比例した抵抗力をおもりに作用させ，その比例定数を ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (>0)}$ とする．
• 空気の影響は無い（おもりの速度に比例する空気抵抗（流体の抵抗）を考えて，空気（流体）がダンパーの役割を果たすとしてもよいが，ここでは制動器のみの抵抗を考える）．

図のように，質量 ${\displaystyle m}$ の質点（赤丸）を先端に付けたばねを鉛直に吊るし，質点にはダンパーを取り付ける．質点を静止させたとき，ばねは自然長から ${\displaystyle x_{\text{e}}}$ だけ伸びたとすると，質点に抵抗力は作用せず，鉛直上向きの弾性力 ${\displaystyle k{x}_{\text{e}}}$ と下向きの重力 ${\displaystyle mg}$ が釣り合い， ${\displaystyle k{x}_{\text{e}}-mg=0}$ が成り立つ．この釣り合いの位置を原点 O として鉛直上向きに ${\displaystyle x}$ 軸をとる．

質点を振動させたときに質点に作用する力は，質点の位置 ${\displaystyle x}$ と速度 ${\displaystyle v}$ を用いて，

ばねの弾性力 ：  ${\displaystyle -k(x-x_{\text{e}})}$
ダンパーによる抵抗力 ：  ${\displaystyle -bv}$   （ ${\displaystyle b}$ ：正の比例定数）
重力 ：  ${\displaystyle -mg}$

と表されるので，それらの合力 ${\displaystyle F}$ は

${\displaystyle F=-k(x-x_{\text{e}})-bv-mg}$ ${\displaystyle =-kx-bv+k{x}_{\text{e}}-mg}$ ${\displaystyle =-kx-bv}$     - - - (1)

である（釣り合いの位置を原点 O にとると，重力の影響は考慮しなくてよい）．したがって，質点の運動方程式は

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx-bv}$     - - - (2)

となる．上式の両辺を ${\displaystyle m}$ で割り，減衰率 ${\displaystyle \gamma =\frac{b}{2m}}$ ，単振動の角振動数 ${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}$  を導入して整理すると，式(2)は

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0}$     - - - (3)

と表され，減衰振動の従う微分方程式が得られる．この微分方程式を解くと， ${\displaystyle \gamma }$ と ${\displaystyle {\omega }_0}$ の関係に応じて，不足減衰（ ${\displaystyle \gamma <{\omega }_0}$ ），臨界減衰（ ${\displaystyle \gamma ={\omega }_0}$ ），過減衰（ ${\displaystyle \gamma >{\omega }_0}$ ）の解が求まる．

ばね‐質量‐ダンパー系のシミュレーションにより，これらの解が確認できる．

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