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減衰振動 : ばね‐質量‐ダンパー系 (spring - mass - damper system)

ばねの先端に取り付けられたおもりにダンパー(制動器)を取り付けた系(ばね‐質量系にダンパーを加えた系:ばね‐質量‐ダンパー系)の運動を考える.ダンパーはおもりの運動を抑制する抵抗力をおもりに加える役割を果たす.

このばね‐質量‐ダンパー系の数学モデルを得るために以下を仮定する:

  • 重力加速度の大きさ g は一定である.
  • おもりは質量 m の質点である.
  • ばねの質量およびダンパーの可動部の質量はゼロである(おもりと可動部の質量を合わせて m としてもよい).
  • ばねは常にフックの法則に従い,その弾性定数(ばね定数)を k (>0) とする.
  • ダンパーはおもりの速度に比例した抵抗力をおもりに作用させ,その比例定数を b (>0) とする.
  • 空気の影響は無い(おもりの速度に比例する空気抵抗(流体の抵抗)を考えて,空気(流体)がダンパーの役割を果たすとしてもよいが,ここでは制動器のみの抵抗を考える).

図のように,質量 m の質点(赤丸)を先端に付けたばねを鉛直に吊るし,質点にはダンパーを取り付ける.質点を静止させたとき,ばねは自然長から xe だけ伸びたとすると,質点に抵抗力は作用せず,鉛直上向きの弾性力 kxe と下向きの重力 mg が釣り合い, kxe mg =0 が成り立つ.この釣り合いの位置を原点 O として鉛直上向きに x 軸をとる.

質点を振動させたときに質点に作用する力は,質点の位置 x と速度 v を用いて,

ばねの弾性力 :  k ( xxe )
ダンパーによる抵抗力 :  bv   ( b :正の比例定数)
重力 :  mg

と表されるので,それらの合力 F

F= k( xxe ) bv mg =kx bv +kxe mg =kx bv     - - - (1)

である(釣り合いの位置を原点 O にとると,重力の影響は考慮しなくてよい).したがって,質点の運動方程式は

m d2 x dt2 =kx bv     - - - (2)

となる.上式の両辺を m で割り,減衰率 γ= b2m ,単振動の角振動数 ω0= km  を導入して整理すると,式(2)は

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x =0     - - - (3)

と表され,減衰振動の従う微分方程式が得られる.この微分方程式を解くと, γ ω0 の関係に応じて,不足減衰 γ< ω0 ),臨界減衰 γ= ω0 ),過減衰 γ> ω0 )の解が求まる.

ばね‐質量‐ダンパー系のシミュレーションにより,これらの解が確認できる.

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