運動軌道における曲率半径 (radius of curvature on motion trajectory)

3次元直交座標系において，運動している質量 m の質点の位置を時刻 t の関数として

r (t) = ( x(t)  ,  y(t)  ,  z(t) )

とすると，質点の速度は

v (t) = ( vx(t)  ,  vy(t)  ,  vz(t) ) = dr dt = ( dx dt  ,  dy dt  ,  dz dt ) ，

質点の加速度は

a (t) = ( ax(t)  ,  ay(t)  ,  az(t) ) = dv dt = ( dvx dt  ,  dvy dt  ,  dvz dt ) = ( d2x dt2  ,  d2y dt2  ,  d2z dt2 )

と表される．

速度 v (t) と加速度 a (t) が平行でない場合，運動軌道上の質点の位置 r (t) における曲率円 C は， v と a で張られる平面(接触平面)で定義され，その平面の法線ベクトル(従法線ベクトル) n は

n = ( nx  ,  ny  ,  nz ) = v × a | v × a |

である．この法線ベクトルが z 軸に平行となるように座標変換すると，曲率円 C は xy 平面に平行な面上の円 C′ に変換される．この1次変換の表現行列を M とする．

n を球面座標 θ  ,  ϕ を用いて成分表示すると， n= ( sinθcosϕ  ,  sinθsinϕ  ,  cosθ )  であるので，上記の1次変換は z 軸周りに −ϕ だけ回転した後， y 軸周りに −θ だけ回転させることに対応する．ここで，

cosθ=nz  ， sinθ= nx2 + ny2  ， cosϕ= nx nx2 + ny2  ， sinϕ= ny nx2 + ny2

である．3次元空間での x  ,  y  ,  z 軸周りの θ 回転を表す回転行列をそれぞれ Rx (θ)  ,  Ry (θ)  ,  Rz (θ) とすると

M= Ry (−θ) Rz (−ϕ)

と表される． M により xyz 系から変換された座標系を x′ y′ z′ 系とすると，速度，加速度はそれぞれ

v′ = v Mt = ( v′x  ,  v′y  ,  0 ) = ( dx′ dt  ,  dy′ dt  ,  0 )  ，

a′ = a Mt = ( a′x  ,  a′y  ,  0 ) = ( d2x′ dt2  ,  d2y′ dt2  ,  0 )

と変換され，ともに z′ 成分はゼロである（行ベクトルで表記しているので，行列 M を転置して右からかけている）．よって， v と a との外積は z′ 成分のみもつ：

v′ × a′ = ( 0 ,  0 ,  v′x a′y − v′y a′x )  ．

また，回転操作により v  ,  a の大きさとその間の角度は変化しないので

v= | v | = | v′ | =v′ ， | a | = | a′ | ， | v × a | = | v′ × a′ | = | ( v′ × a′ ) z |

である．パラメータ表示された曲線の曲率半径 の定義により， x′ y′ 面上の曲率円 C′ の半径 R は

R= { ( dx′ dt ) 2 + ( dy′ dt ) 2 } 32 | dx′ dt d2y′ dt2 − dy′ dt d2x′ dt2 | = { ( v′x ) 2 + ( v′y ) 2 } 32 | v′x a′y − v′y a′x | = { ( v′ ) 2 } 32 | ( v′ × a′ ) z | = ( v′ ) 3 | v′ × a′ | = v3 | v × a |

と表される（回転操作によって曲率半径 R は変化しない）．

ホーム>>カテゴリー分類>>力学>>運動>>回転運動>>運動軌道における曲率半径