ガウス積分 (Gaussian integral)

重積分と極座標を利用して証明する．まず，

${\displaystyle I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{y}^2}dy}$   より

${\displaystyle I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{y}^2}dy}$

${\displaystyle \phantom{I^2}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy}$

と書ける．次に，平面の極座標 ${\displaystyle (r,\theta )}$ を用いて，変数変換 ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ , ${\displaystyle y=r\sin \theta }$ を行うと ${\displaystyle x^2+y^2=r^2}$ であり， 重積分における変数変換よりヤコビアンは $\frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(r,\theta \right)}=r$ なので， ${\displaystyle dxdy=rdrd\theta }$ と置き換わる．したがって，

${\displaystyle I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}rdrd\theta }$

${\displaystyle \phantom{I^2}=2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-a{r}^2}dr}$ ${\displaystyle =2\pi {\left[\frac{e^{-a{r}^2}}{-2a}\right]}_0^{\infty }}$

${\displaystyle \phantom{I^2}=2\pi \left(0-\frac{1}{-2a}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\pi }{a}}$

が得られ，

${\displaystyle I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}}$

が求まる．