モンキー・ハンティング 1
時刻
t=0
で質量
m
1
の物体
1
を水平に対して角度
θ
の方向に初速度
v
0
で投げる（斜方投射）．
投げた地点を原点とし水平方向を
x
軸，鉛直上向きを
y
軸とする．また，原点から
x
方向へ距離
l
，高さ
h
の所から時刻
t=0
で質量
m
2
の物体
2
を初速度
0
で自由落下させる．物体
1
の
x
座標および
y
座標はそれぞれ
x
1
，
y
1
，物体
2
の
y
座標は
y
2
とする．空気抵抗は無視できるものとし，重力加速度を
g
とする．
(1)
物体
1
の
x
軸，
y
軸方向の
運動方程式
および物体
2
の
y
軸方向の運動方程式を書け．
解答
物体
1
の
x
軸方向：
m
1
d
2
x
1
d
t
2
=0
物体
1
の
y
軸方向：
m
1
d
2
y
1
d
t
2
=−
m
1
g
物体
2
の
y
軸方向：
m
2
d
2
y
2
d
t
2
=−
m
2
g
閉じる
解説
各物体にはたらく力は重力のみである．また，物体
1
の
x
軸方向の
加速度
は
d
2
x
1
d
t
2
，物体
1
の
y
軸方向の加速度は
d
2
y
1
d
t
2
，物体
2
の
y
軸方向の加速度は
d
2
y
2
d
t
2
である．
閉じる
(2)
(
1
)
で求めた運動方程式を解いて，物体
1
の
x
軸，
y
軸方向の
速度
v
x1
(
t
)
，
v
y1
(
t
)
および物体
1
の
x
軸，
y
軸方向の位置
x
1
(
t
)
，
y
1
(
t
)
，物体
2
の
y
軸方向の速度と位置
v
y2
(
t
)
，
y
2
(
t
)
をそれぞれ求めよ．
解答
物体
1
の速度
v
x1
(
t
)=
v
0
cosθ
，
v
y1
(
t
)=
v
0
sinθ−gt
物体
1
の位置
x
1
(
t
)=
v
0
tcosθ
，
y
1
(
t
)=
v
0
tsinθ−
1
2
g
t
2
物体
2
の速度
v
y2
(
t
)=−gt
物体
2
の位置
y
2
(
t
)=h−
1
2
g
t
2
閉じる
解説
斜方投射
は，
x
軸方向は等速直線運動，
y
軸方向は鉛直投げ上げと同じ運動をする．
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(3)
物体
1
の
x
座標が距離
l
離れた地点に到達する時刻を
t
A
とする．時刻
t
A
を求めよ．
解答
解説
(
2
)
より
x
1
(
t
A
)=
v
0
t
A
cosθ=l
よって
t
A
=
l
v
0
cosθ
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(4)
(
3
)
で求めた時刻
t
A
のときに物体
1
と物体
2
の
y
座標が一致すれば，両者は点
A
で衝突する．このとき，角度
θ
がどのような条件を満たせばよいか答えよ．
解答
解説
時刻
t
A
で物体
1
と物体
2
の
y
座標が一致するので，
y
1
(
t
A
)=
y
2
(
t
A
)
である．
したがって，
v
0
t
A
sinθ−
1
2
g
t
A
2
=h−
1
2
g
t
A
2
より
v
0
t
A
sinθ=h
となる．
t
A
に
(
3
)
でもとめた式を代入すると
v
0
×
l
v
0
cosθ
×sinθ=h
となることから，
tanθ=
h
l
という角度
θ
についての条件が得られる．
閉じる
(5)
(
4
)
のように物体
1
と物体
2
が衝突する状況のとき，投射開始から衝突する直前までの，物体
2
から見た物体
1
の運動はどのようになると考えられるか．
解答
一直線に物体
1
が自身を目指して飛んでくるように見える，等速直線運動．
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解説
2つの物体の相対速度は
(
2
)
で求めた物体の速度から
v
x1
−
v
x2
=
v
0
cosθ
v
y1
−
v
y2
=
v
0
sinθ−gt−(
−gt
)=
v
0
sinθ
となる．
(
4
)
より
θ
は物体
1
と
2
の初期位置をつなぐ直線と
x
軸のなす角であり，相対速度が時刻
t
によらない等速直線運動であるため，物体
2
からは物体
1
が常に自身に向かって速度
v
0
の等速直線運動で飛んでくるように見える．
閉じる
(6)
物体
1
が最高点に達した時に物体
2
と衝突するためには初速度
v
0
がどのような条件を満たせばよいか答えよ．
解答
v
0
=
g(
l
2
+
h
2
)
h
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解説
衝突点
A
で物体
1
が最高点に達する条件は
v
y1
(
t
A
)=
v
0
sinθ−g
t
A
=0
より
v
0
sinθ−g
l
v
0
cosθ
=0
したがって，
v
0
2
=
gl
sinθcosθ
=
gl
sinθ
cosθ
cos
2
θ
=
gl
tanθ
cos
2
θ
=
g
l
2
h
1
cos
2
θ
となり，
1
cos
2
θ
=1+
tan
2
θ
を用いると
v
0
2
=
g
l
2
h
(
1+
tan
2
θ
)=
g
l
2
h
(
1+
h
2
l
2
)=
g(
l
2
+
h
2
)
h
を得る．最終的に
v
0
=
g(
l
2
+
h
2
)
h
という初速度
v
0
についての条件を得る．
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2021年7月13日
