水平ばね振り子

ばねの自然長からの変化量を ${\displaystyle x\left[\text{m}\right]}$ ，ばね定数を ${\displaystyle k\left[\text{N/m}\right]}$ とすると，フックの法則により，ばねにかかる弾性力は ${\displaystyle -kx\left[\text{N}\right]}$である．（参考：水平ばね振り子）
よって，物体の運動方程式は ${\displaystyle 0.10\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-0.40x}$ となる．

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運動方程式を整理すると

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x=-\frac{0.40}{0.10}x=-4.0x}$   ⇒   ${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+4.0x=0}$

となり，定数係数の2階同次線形微分方程式が得られる．
上式の特性方程式 ${\displaystyle {\lambda }^2+4.0=0}$  ⇒ ${\displaystyle {\lambda }^2=-4.0}$  の解は  ${\displaystyle \lambda =\pm 2.0i}$ である．
特性方程式の解が虚数になるので，一般解は

${\displaystyle x\left(t\right)=C_1\sin 2.0t+C_2\cos 2.0t}$

となる．
この解を時刻 ${\displaystyle t}$ で微分すると，速度

${\displaystyle v_x\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=2.0C_1\cos 2.0t-2.0C_2\sin 2.0t}$

を得る．ばねを${\displaystyle x}$ 軸の正の向きに${\displaystyle x=0.10\text{m}}$ まで伸ばして放すという初期条件より，

${\displaystyle x\left(0\right)=C_1\sin 0+C_2\cos 0=C_2=0.10}$

となり，ばねを静かに放す（初速ゼロ）という初期条件より，

${\displaystyle v_x\left(0\right)=2C_1\cos 0-2C_2\sin 0=2C_1=0}$   ⇒   ${\displaystyle C_1=0}$

となる．よって，初期条件を満たす解は

${\displaystyle x\left(t\right)=0.10\cos 2.0t}$

と求まる．

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物体が ${\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+\alpha )}$で与えられる運動（単振動）をするとき，${\displaystyle A\left(>0\right)}$ は振幅にあたる． ${\displaystyle \left(2\right)}$より，物体は${\displaystyle x\left(t\right)=0.10\cos 2.0t}$で単振動する．よって振幅は${\displaystyle 0.10\text{m}}$

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${\displaystyle T=\frac{2\pi }{w}=\frac{2\pi }{2}=\pi =3.1\text{s}}$
もしくは，${\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0.10}{0.40}}=\frac{2\pi }{2.0}=3.1\text{s}}$

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${\displaystyle \text{(2)}}$ で求めた解 ${\displaystyle x\left(t\right)=0.10\cos 2.0t}$ より，速度 ${\displaystyle v_x\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=-0.20\sin 2.0t}$ である．自然長（ ${\displaystyle x=0}$ ）のとき， ${\displaystyle \cos 2.0t=0}$ なので， ${\displaystyle \sin 2.0t=\pm 1}$ である．よって，自然長になったときの物体の速さは

${\displaystyle v=\left|-0.20\sin 2.0t\right|=\left|-0.20\times (\pm 1)\right|=0.20\text{m/s}}$

と求まる．

別の求め方として，力学的エネルギー保存則を用いる方法がある．振幅を ${\displaystyle A}$ ，自然長のときの物体の速さを ${\displaystyle v}$ とすると，力学的エネルギー保存則 ${\displaystyle \frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{v}^2}$ より，

${\displaystyle v=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\sqrt{\frac{0.40}{0.10}}=0.10\cdot 2.0=0.20\text{m/s}}$

と求まる．

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