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ばね‐質量系 ： 水平ばね振り子(horizontal spring pendulum)

図のように，質量 ${\displaystyle m}$ の質点（赤丸）を一端に付けたばね定数 ${\displaystyle k}$ のばねを滑らかな水平面に置き，他端を壁に固定する．

ばねが自然長のときの質点の位置を原点 O として水平右向きに ${\displaystyle x}$ 軸をとり，時刻 ${\displaystyle t}$ での質点の位置を ${\displaystyle x(t)}$ とする．このとき，ばねの自然長からの変化量は ${\displaystyle x}$ なので，ばねの弾性力は ${\displaystyle -kx}$ となる．質点に作用する力の水平方向成分 ${\displaystyle F}$ は，ばねの弾性力のみであり

${\displaystyle F=-kx}$     - - - (1)

となる（力の鉛直方向成分は質点の重力と水平面からの垂直抗力が釣り合っている）．したがって，力 ${\displaystyle F}$ を受けて ${\displaystyle x}$ 軸上を運動する質量 ${\displaystyle m}$ の質点の運動方程式は次式となる．

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx}$     - - - (2)

上式の両辺を ${\displaystyle m}$ で割り，

${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$     - - - (3)

とおいて整理すると，運動方程式は

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0}$     - - - (4)

と表され，単振動の従う微分方程式の標準形が得られる．この微分方程式の一般解は

${\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A,\alpha }$ ： 任意定数）     - - - (5)

であり， ${\displaystyle \omega =\sqrt{k/m}}$ がこのばね‐質量系の固有角振動数となる．この単振動の周期は次式で表される．

${\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$     - - - (6)

したがって，周期 ${\displaystyle T}$ は質量 ${\displaystyle m}$ が大きく（小さく）なると， ${\displaystyle \sqrt{m}}$ で大きく（小さく）なり，ばね定数 ${\displaystyle k}$ が大きく（小さく）なると， ${\displaystyle 1/\sqrt{k}}$ で小さく（大きく）なる．

質点の速度は  ${\displaystyle v(t)=dx/dt=-\omega A\sin (\omega t+\alpha )}$  と表されるので，初期条件として，時刻 ${\displaystyle t=0}$ のときの質点の位置を  ${\displaystyle x(0)=x_0}$  ，質点の速度を  ${\displaystyle v(0)=v_0}$  とすると，

${\displaystyle x(0)=A\cos \alpha =x_0}$     - - - (7)

${\displaystyle v(0)=-\omega A\sin \alpha =v_0}$     - - - (8)

より，任意定数 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle \alpha }$ は

${\displaystyle A^2={(A\cos \alpha )}^2+{(A\sin \alpha )}^2}$ ${\displaystyle =x_0^2+{\left(-\frac{v_0}{\omega }\right)}^2=x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}}$     - - - (9)

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{v_0}{\omega }}{x_0}=-\frac{v_0}{x_0\omega }}$      ${\displaystyle (x_0\ne 0)}$     - - - (10)

を満たすように決定する（ ${\displaystyle x_0=0}$ のときは， ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ を満たす ${\displaystyle \alpha }$ を考えればよい ）．

基準点を原点 O （ ${\displaystyle x=0}$ ）としたときの，質点に働く合力 ${\displaystyle F=-kx}$ による位置エネルギーは  ${\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2}$  である．

例として，質点の質量 ${\displaystyle m=2.0\text{kg}}$ ，ばね定数 ${\displaystyle k=8.0\text{N/m}}$ の場合， ${\displaystyle \omega =\sqrt{k/m}}$ ${\displaystyle =\sqrt{8.0/2.0}=2.0{\text{s}}^{\text{-1}}}$  より，単振動の一般解は

${\displaystyle x(t)=A\cos (2.0t+\alpha )}$    （ ${\displaystyle A,\alpha }$ ： 任意定数）     - - - (11)

となる．初期条件として，時刻 ${\displaystyle t=0\text{s}}$ で位置 ${\displaystyle x(0)=5.0\text{m}}$ ，速度 ${\displaystyle v(0)=0.0\text{m/s}}$  とすると，

${\displaystyle A^2={5.0}^2}$  ，  ${\displaystyle \tan \alpha =0}$   ⇒   ${\displaystyle A=5.0\text{m}}$  ，  ${\displaystyle \alpha =0}$     - - - (12)

となり，初期条件を満たす解が

${\displaystyle x(t)=5.0\cos 2.0t〔\text{m}〕}$     - - - (13)

と求まる．周期は  ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$ ${\displaystyle =2\pi /2.0=\pi 〔\text{s}〕}$ である．

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最終更新日：2022年7月30日

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