回転しながら落下する円板
M[kg]
,半径R[m]
の一様な円板のまわりに軽い糸を巻きつけ,糸の他端を天井に固定し,円板を鉛直下向きに落下させた.
この糸が円板を引く張力の大きさをS[N]
, 重力加速度の大きさをg[m/s2]
とする.円板の角加速度は一定で1.5 rad/s2
,時刻0 s
で円板は回転していなかった(初期角速度
0 rad/s
).また,空気抵抗は無視できるものとする.
(1)
円板の回転軸のまわりの総トルクを求めよ.
解答
解説
トルクとは回転軸のまわりの力のモーメントのことであり,一般にはベクトル量であるが,固定軸のまわりの回転を考える場合,トルクをベクトル表記するのではなく,トルクの大きさに回転の向きを示す正負の符号をつけて表すことが多い.ここではその表記に従い,反時計回りを正,時計回りを負とする.
トルクの大きさは(力)×(うでの長さ)で表され,この問題の場合,うでの長さは円板の中心から力の作用線までの距離であり,円板にはたらく力は重力と張力のみである.重力は一様な円板の中心(質量中心)にはたらくとみなせるので,円板の中心から重力の作用線までの距離はゼロである.張力は図に示すように円板の縁の接線方向にはたらくので,円板の中心から張力の作用線までの距離は
R
であり,円板を反時計回りに回転させようとする.したがって,総トルクは
Mg×0+S×R=RS
となる.
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(2)
時刻
2.0 s
における円板の角速度
ω
を求めよ.
解答
解説
角加速度
α
が一定であるとき,時刻
t
における角速度
ω
は,ω=∫αdt=ω0+αt
と表せる(ω0
は,t=0
のときの初期角速度).ω0=0
であるから,
ω=0+1.5×2.0=3.0 rad/s
と求まる.
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(3)
時刻0 s
から時刻2.0 s
の間に,円板が回転した角度
Δθ
を求めよ.
解答
解説
角度
θ
は
θ=∫ωdt
と表され,
(2)
の解説より角加速度
α
が一定であるとき,角速度
ω=ω0+αt
であるから,時刻0 s
から時刻2.0 s
の間の回転角
Δθ
は
Δθ=θ(2.0)−θ(0)=∫2.00ωdt
=∫2.00(ω0+αt)dt
=[ω0t+12αt2]2.00
=0×2.0+12×1.5×2.02=3.0 rad
と求まる(初期角速度
ω0=0
).
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2020年12月18日