完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle 2ydx+\left(2x+1\right)dy=0}$

■答

${\displaystyle 2xy+y=c}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の一般解は

${\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}P\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle +\underset{b}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}Q\left(a,y\right)dy}$${\displaystyle =c}$ ･･････(1)

ここで${\displaystyle a}$と ${\displaystyle b}$は定数であり， ${\displaystyle c}$は任意定数である．

■解き方

${\displaystyle 2ydx+\left(2x+1\right)dy=0}$

${\displaystyle P=2y}$, ${\displaystyle Q=2x+1}$とすると

${\displaystyle P_y=2}$, ${\displaystyle Q_x=2}$  ${\displaystyle \therefore P_y=Q_x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する．${\displaystyle a=0}$,${\displaystyle b=0}$として

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{x}2ydx}+{\displaystyle {\int }_0^y\left(2\cdot 0+1\right)dy}=c}$

よって

${\displaystyle 2xy+y=c}$

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最終更新日： 2023年6月15日