変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+e^x}{e^{x-y}}}$

■答

${\displaystyle e^{-x}-e^{-y}-x=C}$

（ただし${\displaystyle C}$任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+e^x}{e^{x-y}}}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+e^x}{e^x{e}^{-y}}}$

ここで変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\frac{1+e^x}{e^x{e}^{-y}}dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=\frac{1+e^x}{e^x}dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=\left(\frac{1}{e^x}+1\right)dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=\left(e^{-x}+1\right)dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-y}}dy={\displaystyle \int \left(e^{-x}+1\right)dx}+C}$

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-y}dy}={\displaystyle \int e^{-x}dx}+{\displaystyle \int dx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -e^{-y}=-e^{-x}+x+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$ は任意定数)

式を整理すると

${\displaystyle e^{-x}-e^{-y}-x=C}$

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最終更新日： 2023年6月17日