変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)y^{\prime }+\cos x+x^3=0}$

■答

${\displaystyle 3x^4+4y^3+12\sin x-12\cos y=A}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)y^{\prime }+\cos x+x^3=0}$

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)y^{\prime }=-\left(\cos x+x^3\right)}$

${\displaystyle y\text{'}=\frac{dy}{dx}}$ 　より

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)\frac{dy}{dx}=-\left(\cos x+x^3\right)}$

ここで変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)dy=-\left(\cos x+x^3\right)dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(y^2+\sin y\right)dy}=-{\displaystyle \int \left(\cos x+x^3\right)dx}}$

${\displaystyle {\displaystyle \int y^{2}dy+}{\displaystyle \int \sin ydy}}$ ${\displaystyle =-\left({\displaystyle \int \cos xdx+{\displaystyle \int x^{3}dx}}\right)}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \frac{1}{3}{y}^3-\cos y=-\sin x-\frac{1}{4}{x}^4+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$ は任意定数)

両辺に12をかけると

${\displaystyle 4y^3-12\cos y=-12\sin x-3x^4+12C}$

${\displaystyle 3x^4+4y^3+12\sin x-12\cos y=12C}$

${\displaystyle 12C=A}$  とおくと

${\displaystyle 3x^4+4y^3+12\sin x-12\cos y=A}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2019年10月28日