変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{2}dx-x^{3}dy=0}$

■答

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+A{x}^2}}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle y^{2}dx-x^{3}dy=0}$

${\displaystyle y^{2}dx=x^{3}dy}$

${\displaystyle \frac{1}{x^3}dx=\frac{1}{y^2}dy}$

${\displaystyle x^{-3}dx=y^{-2}dy}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{-3}dx}={\displaystyle \int y^{-2}dy}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -\frac{1}{2}{x}^{-2}=-y^{-1}+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$ は任意定数)

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{1}{y}=\frac{1}{2x^2}+C}$

${\displaystyle =\frac{1+2C{x}^2}{2x^2}}$

したがって

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+2C{x}^2}}$

${\displaystyle 2C=A}$  とおくと

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+A{x}^2}}$

（ただし ${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2019年10月28日