変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

■答

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+A}$

（ただし${\displaystyle A}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

■解き方

${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}}$ 　より　

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}$

${\displaystyle y^{\frac{1}{2}}dy=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}}dx}$

${\displaystyle y^{\frac{1}{2}}dy={\left(x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int y^{\frac{1}{2}}dy}={\displaystyle \int {\left(x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}=2{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle \frac{2}{3}y\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

両辺に${\displaystyle \frac{3}{2}}$ をかけると

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+\frac{3}{2}C}$

${\displaystyle \frac{3}{2}C=A}$ とおくと

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+A}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年6月17日