変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{e^x}}$

■答

${\displaystyle y=-\log \left(e^{-x}+C\right)}$　　（ただし${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{e^x}}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\frac{e^y}{e^x}dx}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}dy=\frac{1}{e^x}dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=e^{-x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-y}dy}={\displaystyle \int e^{-x}dx}+C^{\prime }}$　(ただし ${\displaystyle C^{\prime }}$ は任意定数)

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -e^{-y}=-e^{-x}+C^{\prime }}$

${\displaystyle e^{-y}=e^{-x}-C^{\prime }}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^x}-C^{\prime }}$

$C=-C^{\prime }$とおく

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=e^{-x}-C}$

${\displaystyle e^y=\frac{e^x}{1-e^{x}C}}$

${\displaystyle e^y={\left(e^{-x}+C\right)}^{-1}}$

${\displaystyle y=\log e^x-\log \left(1-e^{x}C\right)}$

${\displaystyle y=\log {\left(e^{-x}+C\right)}^{-1}}$

${\displaystyle y=-\log \left(e^{-x}+C\right)}$

　

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最終更新日： 2023年6月18日