同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(x^2+xy\right)y^{\prime }=x^2+4xy+3y^2}$

■答

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \left(x^2+xy\right)y^{\prime }=x^2+4xy+3y^2}$

両辺を因数分解すると

${\displaystyle x\left(x+y\right)\frac{dy}{dx}=\left(x+y\right)\left(x+3y\right)}$

両辺を${\displaystyle x\left(x+y\right)}$で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{x+3y}{x}}$

${\displaystyle =1+3\frac{y}{x}}$　　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=1+3v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=1+2v}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{1}{1+2v}dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+2v}dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|1+2v\right|=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|1+2v\right|=2\log \left|x\right|+2C}$

${\displaystyle \log \left|1+2v\right|-2\log \left|x\right|=2C}$

対数の性質より

${\displaystyle \log \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|=2C}$

${\displaystyle \log e=1}$より

${\displaystyle \log \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|}$ ${\displaystyle =2C\log e}$

${\displaystyle =\log e^{2C}}$

したがって

${\displaystyle \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|=e^{2C}}$

${\displaystyle \frac{1+2v}{x^2}=\pm e^{2C}}$

${\displaystyle 1+2v=\pm e^{2C}{x}^2}$

${\displaystyle v}$ を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)に戻すと

${\displaystyle 2\frac{y}{x}=\pm e^{2C}{x}^2-1}$

よって

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{2}{e}^{2C}{x}^3-\frac{1}{2}x}$

$\pm \frac{1}{2}{e}^{2C}=A\ne 0$ とおくと

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　･･････(2)

(2)において，${\displaystyle A=0}$ とすると

${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x}$　･･････(3)

となる．(3)を与式の微分方程式の左辺に代入すると

${\displaystyle \left\{x^2+x\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)\right\}{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{x}^2}$　･･････(4)

(3)を与式の微分方程式の右辺に代入すると

${\displaystyle x^2+4x\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)+3\cdot {\left(-\frac{1}{2}x\right)}^2}$${\displaystyle =x^2-2x^2+\frac{3}{4}{x}^2}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{x}^2}$　･･････(5)

(4)，(5)より，(3)は微分方程式の解となる．

したがって，(2)は${\displaystyle A=0}$も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日