線形微分方程式に関する問題

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x\sin xdx}}$  

■答

${\displaystyle I={\displaystyle \int e^x\sin xdx}={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}}$  とおき，部分積分をする．

${\displaystyle I}$	${\displaystyle ={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}}$
	${\displaystyle =e^x\sin x-{\displaystyle \int e^x\cos xdx}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int e^x\cos xdx}={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\cos xdx}\\ \end{array}}$ とおき，もう一度部分積分を行う．

よって

${\displaystyle I=e^x\sin x-e^x\cos x-I}$  

右辺の${\displaystyle I}$ を移項すると

${\displaystyle 2I=e^x\sin x-e^x\cos x}$  

${\displaystyle I=\frac{1}{2}\left(e^x\sin x-e^x\cos x\right)}$  

したがって

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x\sin xdx}=\frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)}$

 

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最終更新日： 2023年10月9日