微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{D^2+2D+8}sin2x}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{8}\left(\cos 2x+\sin 2x\right)+\frac{i}{8}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}$

■ヒント

オイラーの公式を用いると

${\displaystyle e^{i2x}=\cos 2x+i\sin 2x}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{1}{D^2+2D+8}{e}^{i2x}}$

の解の虚部が与式の解となる．この公式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{1}{D^2+2D+8}{e}^{i2x}}$

この公式を利用する

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(2i\right)}^2+2\cdot 2i+8}{e}^{i2x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4+4i}{e}^{i2x}}$

${\displaystyle =\frac{4-4i}{\left(4+4i\right)\left(4-4i\right)}\left(cos2x+isin2x\right)}$

${\displaystyle =\frac{1-i}{8}\left(cos2x+isin2x\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left(cos2x+sin2x\right)+i\frac{1}{8}\left(sin2x-cos2x\right)}$

よって

${\displaystyle \frac{1}{D^2+2D+8}\sin 2x=\frac{1}{8}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}$

　

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最終更新日： 2023年6月29日