微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={sin}^{-1}2x}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}$

■ヒント

${\displaystyle {sin}^{-1}}$の微分の公式と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y={sin}^{-1}2x}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(2x\right)}^2}}·{\left(2x\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle {sin}^{-1}}$ の微分の公式を用いる）

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}·2}$

${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}$

${\displaystyle y=f\left(u\right)={\sin }^{-1}u}$ ， ${\displaystyle u=g\left(x\right)=2x}$ と考えて 合成関数の微分の公式を用いて計算している．

●別解

逆関数の微分の公式 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$を用いる．

${\displaystyle y={sin}^{-1}2x}$ 　･･････(1)

(1)を${\displaystyle \sin }$ を使って表すと

${\displaystyle \sin y=2x}$ 　ここを参照 　 ･･････(2)

となる．(2)を $x$ について解く．

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\sin y}$ 　･･････(3)

となる．(3)を $x$ に関して微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cos y}$ 　${\displaystyle \sin }$ の微分を参照

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}$　･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}}$　･･････(6)

(6)に(2)代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{1-{\left(2x\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年7月15日