フーリエ変換の問題

■問題

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^x& \left(x<0\right)\\ e^{-x}& \left(x\geqq 0\right)\end{array}\right.}$

■解答

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は偶関数である．よって，フーリエ余弦変換${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}}$ とおく．

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(e^{-x}\right)}^{\prime }\cos \omega xdx}}$

部分積分法を用いている

${\displaystyle ={\left[-e^{-x}\cos \omega x\right]}_0^{\infty }-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(-e^{-x}\right)\left(-\omega \sin \omega x\right)dx}}$

${\displaystyle =0+1-\omega {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }\sin \omega xdx}}$

${\displaystyle =1-\omega \left\{{\left[-e^{-x}\sin \omega x\right]}_0^{\infty }-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(-e^{-x}\right)\omega \cos \omega xdx}\right\}}$

${\displaystyle =1-\omega \left\{0+\omega {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}\right\}}$

${\displaystyle =1-{\omega }^{2}I}$

よって

${\displaystyle I=1-{\omega }^{2}I}$

${\displaystyle \left(1+{\omega }^2\right)I=1}$

${\displaystyle I=\frac{1}{1+{\omega }^2}}$

したがって

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}}$

　

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最終更新日： 2023年7月6日