フーリエ変換の問題

■問題

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\left|x\right|& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}\right.}$

■解答

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{\frac{1}{\omega }\sin \omega -\frac{1}{{\omega }^2}\left(\cos \omega -1\right)\right\}}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は偶関数である．よって，フーリエ余弦変換${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x\cos \omega xd\omega }}$

部分積分法を用いる

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x{\left(\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right)}^{\prime }d\omega }}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{{\left[\frac{1}{\omega }x\sin \omega x\right]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\omega }\sin \omega xd\omega }\right\}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{\frac{1}{\omega }\sin \omega -\frac{1}{\omega }{\left[-\frac{1}{\omega }\cos \omega x\right]}_0^1\right\}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{\frac{1}{\omega }\sin \omega -\frac{1}{{\omega }^2}\left(\cos \omega -1\right)\right\}}$

　

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最終更新日： 2023年7月6日